Расчет поля Н и индукции В кольцевого магнита.

[Saber]

Доброго всем времени суток! Ранее не занимался данной тематикой, но вот потребовалось. Проверьте решение пожалуйста, мне спросить просто не у кого, а я все чаще сталкиваюсь с тем, что я постоянно узнаю новые факты, которые ставят под вопрос правильность. Возможно я что-то пропустил.
Необходимо найти магнитную индукцию и напряженность магнитного поля кольцевого магнита. Ниже представлено мое решение. В литературе не нашел способов теоретического расчета, поэтому воспользовался решением для диска.
Дано:
Постоянный магнит имеет форму тонкого кольца с внешним и внутренним радиусом $R$ и $r$ соответственно. Толщина кольца $h$ при этом $h \ll R$ и $h \ll r$. Магнитный момент диска $p_m$ перпендикулярен его плоскости. Для простоты решения я предположил, что намагниченность однородная.
Тогда чтобы найти намагниченность я воспользовался следующей формулой:

$M=p_m/V=\frac {p_m} {(\pi R^2-\pi r^2)h}$

Далее из условия, что намагниченность однородна, говорю что на боковой поверхности (внутри и снаружи) течет поверхностный молекулярный ток плотности

$i'=M$

Тогда полный молекулярный ток

$I'=i' h=M h=\frac {p_m} {\pi R^2-\pi r^2}$

Из соображения что кольцо тонкое, ток можно принять линейным и создаваемое им магнитное поле будет совпадать с полем на оси кольца с током $I=I'$, определяемым следующей формулой

$B(x)=\frac 1 2 \mu_0 I (\frac {R^2} {(R^2+x^2)^{\frac 3 2}} - \frac {r^2} {(r^2+x^2)^{\frac 3 2}})$

Знак минус взял т.к, на сколько я понял, токи на внутренней стороне и на внешней имеют разные направления. Формула выше выведена из закона Био-Савара-Лапласа

$dB=\frac {\mu_0 I \sin {\alpha}} {4 \pi R_0^2} dl $

где $R_0$ - гипотенуза соединяющая элемент контура с точкой где необходимо найти магнитную индукцию
После раскрытия синуса получим что магнитная индукция равна

$B_0=\frac 1 2 \mu_0 I (\frac {R^2} {(R^2+x^2)^{\frac 3 2}} - \frac {r^2} {(r^2+x^2)^{\frac 3 2}})$

Из соотношения

$H=\frac B {\mu_0}-M$
Нахожу $H$

$H=\frac 1 2 I (\frac {R^2} {(R^2+x^2)^{\frac 3 2}} - \frac {r^2} {(r^2+x^2)^{\frac 3 2}})-\frac {p_m} {\pi R^2-\pi r^2}$

Тогда в центре кольца

$B_0=\frac 1 2 \mu_0 I (\frac 1 {R^2} - \frac 1 {r^2})$

$H=\frac 1 2 I (\frac 1 {R^2} - \frac 1 {r^2})-\frac {p_m} {(\pi R^2-\pi r^2)h}$

Заранее спасибо за помощь!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), таким образом надо оформлять в т.ч. и небольшие формулы, и отдельные обозначения;
- пометку для проверки на плагиат уберите.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[AnatolyBa]

Я бы решал по другому. Предположение об однородной намагниченности разумно, поле магнитного диполя известно, вот я бы просто интегрировал по кольцу.
Но вернемся к вашему решению. Переход от намагниченности к молекулярным токам дело тонкое, но в вашем случае, вроде, возможно, т. е. до первой формулы для $B(x)$ я с вашим решением согласен. Но что вы делаете дальше? Что такое $B_0$ - ведь это тоже самое что $B(x)$?
Зачем вы применяете формулу $H=\frac{B}{\mu_0}-M$ вне магнита? Там ведь $M=0$.
Ну и арифметическая ошибка в последней формуле для $B_0$ - сами найдите

[Saber]

AnatolyBa в сообщении #1115572 писал(а):

Я бы решал по другому. Предположение об однородной намагниченности разумно, поле магнитного диполя известно, вот я бы просто интегрировал по кольцу.
Но вернемся к вашему решению. Переход от намагниченности к молекулярным токам дело тонкое, но в вашем случае, вроде, возможно, т. е. до первой формулы для $B(x)$ я с вашим решением согласен. Но что вы делаете дальше? Что такое $B_0$ - ведь это тоже самое что $B(x)$?
Зачем вы применяете формулу $H=\frac{B}{\mu_0}-M$ вне магнита? Там ведь $M=0$.
Ну и арифметическая ошибка в последней формуле для $B_0$ - сами найдите

Начну по порядку.
После формулы с $B(x)$ я объясняю откуда я взял эту формулу. Я воспользовался законом Био-Савара-Лапласа, в которой далее провел преобразования. Если вас интересует именно $B_0$ то тут, да, я с вами согласен, это тоже самое что и $B(x)$. Просто в своем решении я расписывал суперпозицию магнитной индукции и в ней у меня $B(x)=B_0=B_R - B_r$, ну и далее по решению.
Касательно применения формулы $H=\frac{B}{\mu_0}-M$, тут вы тоже правы, я только сейчас задумался над тем, что $M=0$, в таком случае $H$ будет отличаться от $B_0$ только константой $\mu_0$ или данное соотношение вообще нельзя использовать?
Собственно почему я вообще задавал вопрос, меня очень напрягают "карманы", расположенные на оси магнита, которые созданны магнитной индукцией внутренней и внешней части. Я не понимаю учитывает ли это мое решение. Еще вопрос возникает при подстановке значений в формулы. Если $R>r$ разве выражение в скобках для $B_0$ не будет отрицательным? Или это говорит лишь о том что направление изменилось?
Касательно ошибки в конечной формуле. Спасибо что указали, допустил ошибку по невнимательности, квадратов в знаменателях для $R$ и $r$ не будет в формуле с $B$ и $H$

[AnatolyBa]

В вакууме, ну или в воздухе, везде где можно считать $\mu=1$, $B$ от $H$ действительно отличается только константой (в СИ) или вообще равны (в СГС).
Отрицательный знак действительно говорит только о направлении (признаюсь, когда я учился, я умел определять направление магнитного поля, но это было давно )
Насчет "карманов" не понял, что вы имеете в виду?

[Saber]

AnatolyBa в сообщении #1115797 писал(а):

Насчет "карманов" не понял, что вы имеете в виду?

Честно, не могу дать точного определения. Нашел информацию на одном из сайтов: "Магнитное поле, создаваемое внутренней осью циркуляции «спрятано» внутри поля, создаваемого внешней осью.
При этом образуются «карманы» - места перемены знака поля. Для однородного кольцевого магнита эти «карманы» расположены на оси магнита – сверху и снизу." - сложно понять, учитывает ли мое решение эту смену знаков. Мне начинает казаться, что да, раз у нас меняется знак при подстановке, хотя я не уверен.

[AnatolyBa]

Не совсем понятно, что они называют осями циркуляции (догадаться можно, но не хочу гадать, по моему, неудачное выражение).
Перемену знака поля ваше решение учитывает. Вернитесь к $B(x)$ и посмотрите внимательно на зависимость от $x$

$$\frac {R^2} {(R^2+x^2)^{\frac 3 2}} - \frac {r^2} {(r^2+x^2)^{\frac 3 2}}$$

Видно, что при $x=0$ выражение отрицательно, при каком-то $x$ обращается в ноль и далее положительно при $x\to\infty$

[Munin]

Saber в сообщении #1116047 писал(а):

Нашел информацию на одном из сайтов

Такую информацию стоит засовывать обратно, и уходить как можно дальше.