Невозможность доказать теорему

[mihaild]

divbyzero1 в сообщении #1115517 писал(а):

Вопрос был, вроде, о теореме, а аксиома это просто посылка, ее доказывать не требуется.

Любая аксиома является теоремой (с очень простым доказательством).
iifat, скорее всего, имел в виду "5я аксиома Евклида в теории, состоящей из первых четырех аксиом".

[divbyzero1]

mihaild в сообщении #1115518 писал(а):

Любая аксиома является теоремой (с очень простым доказательством)

С чего Вы это взяли? Если бы требовалось доказывать аксиомы, вся математика бы рухнула.

[Someone]

divbyzero1 в сообщении #1115521 писал(а):

С чего Вы это взяли? Если бы требовалось доказывать аксиомы, вся математика бы рухнула.

А кто сказал, что аксиомы требуется доказывать?
Собственно, доказательство — это последовательность высказываний, в которой каждое высказывание — это либо аксиома, либо получается из предыдущих высказываний по одному из правил вывода, причём, последнее высказывание совпадает с тем, которое мы хотим доказать.

Доказательство аксиомы состоит из одного высказывания — этой самой аксиомы.

[divbyzero1]

Someone в сообщении #1115524 писал(а):

Доказательство аксиомы состоит из одного высказывания — этой самой аксиомы.

То есть, если есть высказывание, например, "НЛО существует", то это доказано? Любопытные взгляды на логику бытуют на этом сайте, однако, никогда бы не подумал:)

[Lia]

divbyzero1 заблокирован как злостный клон.

[mihaild]

divbyzero1 в сообщении #1115527 писал(а):

То есть, если есть высказывание, например, "НЛО существует", то это доказано? Любопытные взгляды на логику бытуют на этом сайте, однако, никогда бы не подумал:)

В теории, включающей аксиому "НЛО существует" - да, доказано.

[Someone]

divbyzero1 в сообщении #1115527 писал(а):

То есть, если есть высказывание, например, "НЛО существует", то это доказано?

А высказывание "НЛО существует" есть в списке аксиом вашей теории? Потому что обычно в теории "есть" тьма всяких высказываний, но только некоторые из них являются аксиомами, а те, которые аксиомами не являются, обычно не все выводимы.

Да и потом, что такое НЛО? Неопознанный летящий объект. То есть, Вы вверх глянули, и в этот момент там что-то пролетело. А Вы не поняли, что это было. Вот это и есть НЛО.

[Dan B-Yallay]

Интересено, существуют ли недоказуемо-неопровергаемые содержательные высказывания в, скажем, теории чисел или функане? Содержательные в таком смысле: коньюнкция континуум гипотезы с теоремой Хана-Банаха таковой не является.
Гипотеза Римана может быть, если окажется недоказуемой.

[apriv]

Dan B-Yallay в сообщении #1115538 писал(а):

Интересено, существуют ли недоказуемо-неопровергаемые содержательные высказывания в, скажем, теории чисел или функане? Содержательные в таком смысле: коньюнкция континуум гипотезы с теоремой Хана-Банаха таковой не является.

Гипотеза Капланского: любой гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры функций на компактном хаусдорфовом пространстве в банахову алгебру непрерывен. Известно, что если континуум-гипотеза верна, то к гипотезе есть контрпример. Известно, что есть модель ZFC, в которой контрпримера нет.

[Sonic86]

Dan B-Yallay в сообщении #1115538 писал(а):

Интересено, существуют ли недоказуемо-неопровергаемые содержательные высказывания в, скажем, теории чисел или функане?

Теорема Гудстейна
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0
(вообще их там over 9000, просто многие из них имеют очень громоздкую формулировку)

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1115538 писал(а):

Интересено, существуют ли недоказуемо-неопровергаемые содержательные высказывания в, скажем, теории чисел или функане?

В вики есть список https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_s ... ent_of_ZFC (неизвестно какой полноты; там 1 задача из ТЧ и 5 из функана).

[Dan B-Yallay]

apriv, Sonic86,mihaild
Спасибо за ответы. Пойду изучать.