Произведение пределов

[maximk]

Рассмотрим предел $\lim\limits_{z\to\infty}^{}1/z = 0$.
Почему нельзя домножить обе части равенства на $\lim\limits_{z\to\infty}^{}z = \infty$ ?
$z$ - комплексная переменная.
При вещественной $z$ этого сделать не получается, ибо предел не существует, насколько я понимаю (левосторонний и правосторонний пределы не совпадают). А вот если рассматривать эту ситуацию в расширенной комплексной плоскости, какие возникают проблемы и почему?

[Otta]

maximk в сообщении #1115245 писал(а):

При вещественной $z$ этого сделать не получается, ибо предел не существует, насколько я понимаю (левосторонний и правосторонний пределы не совпадают).

Какое отношение несовпадение левого и правого пределов имеет к равенству предела бесконечности?

maximk в сообщении #1115245 писал(а):

А вот если рассматривать эту ситуацию в расширенной комплексной плоскости, какие возникают проблемы и почему?

Ровно потому же, что и в вещественной ситуации. И ровно те же проблемы. Думаете, что можно - домножьте, расскажите, что получится, обоснуйте.

[mihailm]

Тут без переднего края категорий и алгебраической топологии ничего не получится. Вы в этих теориях уже разобрались?

[maximk]

Если домножить, то получается равенство, где с одной стороны стоит единица, с другой стороны неопределенность. Или я ошибаюсь?
Нет, в этих теориях не разобрался еще.

[Brukvalub]

maximk в сообщении #1115300 писал(а):

Если домножить, то получается равенство, где с одной стороны стоит единица, с другой стороны неопределенность. Или я ошибаюсь?

Ошибаетесь!

maximk в сообщении #1115300 писал(а):

Нет, в этих теориях не разобрался еще.

Ничего страшного! Для любознательного восьмиклассника вы неплохо продвигаетесь!

[maximk]

Brukvalub, спасибо
Ну тогда еще более шокирующее предположение: в произведении в правой части равенства будет стоять единица.

[Brukvalub]

maximk, наверное, вам на уроке информатики задали написАть программу Угадайка (входит в список типовых программ-упражнений для 8-го класса), вот вы и тренируетесь?
Лучше взять в школьной библиотеке школьный учебник алгебры за 11-й класс и прочесть в нем параграф про арифметические свойства предела функции.

[maximk]

Ну я знаю эти свойства. И что?

[Brukvalub]

maximk в сообщении #1115351 писал(а):

И что?

Сформулируйте здесь теорему о пределе произведения.

[arseniiv]

maximk в сообщении #1115245 писал(а):

Рассмотрим предел $\lim\limits_{z\to\infty}^{}1/z = 0$.
Почему нельзя домножить обе части равенства на $\lim\limits_{z\to\infty}^{}z = \infty$ ?

Дайте определение умножения на $\infty$, и посмотрим.

[ewert]

maximk в сообщении #1115245 писал(а):

При вещественной $z$ этого сделать не получается, ибо предел не существует

Нет, не поэтому. А просто потому, что бесконечность -- это не число. А как можно умножать число на нечисло?

(очипятка: "нечисло" -- это термин; следует читать "не число")

[maximk]

ewert, а как же $\lim\limits_{z\to\infty}^{}z^2/z = \lim\limits_{z\to\infty}^{}z\cdot z/z =\infty$?
Brukvalub, предел произведения равен произведению пределов.
arseniiv, его я не знаю. Умножение на $1/z$ при $z \to 0$ не оно?

[mihaild]

maximk в сообщении #1115639 писал(а):

предел произведения равен произведению пределов

Не совсем. Еще условия на существование есть (которые как раз в данном случае не выполнены).

[maximk]

Otta в сообщении #1115246 писал(а):

maximk в сообщении #1115245 писал(а):

При вещественной $z$ этого сделать не получается, ибо предел не существует, насколько я понимаю (левосторонний и правосторонний пределы не совпадают).

Какое отношение несовпадение левого и правого пределов имеет к равенству предела бесконечности?

А, этого предела просто не существует, или я вас не понял?

-- 16.04.2016, 16:40 --

mihaild, спасибо. Не выполнены из-за условия несовпадения правостороннего и левостороннего пределов (при переходе к рассмотрению двух функций вещественного переменного вместо рассмотрения функции комплексного переменного)?

[mihaild]

maximk в сообщении #1115658 писал(а):

Не выполнены из-за условия несовпадения правостороннего и левостороннего пределов (при переходе к рассмотрению двух функций вещественного переменного вместо рассмотрения функции комплексного переменного)?

Попробуйте сформулировать полностью теорему о пределе произведения. Пусть $f$ и $g$ - некоторые функции, при каких условиях $\lim f\cdot g = \lim f \cdot \lim g$?