Невозможность доказать теорему

[Linkey]

Я слышал что есть случаи, когда доказывали, что какую-то теорему невозможно ни доказать, ни опровергнуть (звучит как масло не масляное). Можете привести примеры?

[Dmitriy40]

Дык вот совсем рядом есть знаменитая Первая теорема Гёделя.

[Brukvalub]

Континуум-гипотеза.

[iifat]

Не менее знаменитая пятая аксиома Евклида

[Linkey]

Я изначально прочитал это у Пойа:

Цитата:

Классический пример этого доставляет прославленная континуум-гипотеза Кантора, которую можно сформулировать так: "если мощность некоторого множества M не меньше мощности множества всех натуральных чисел и не больше мощности множества всех действительных чисел, то она совпадает с одной из этих двух мощностей". Эта гипотеза по вызываемому ею интересу и количеству попыток доказать или опровергнуть её в течение долгого времени вполне могла конкурировать с гипотезой Гольдбаха; однако в 1966 г американский математик Поль Коэг доказал неразрешимость соответствеющей задачи, т.е. установил, что ни притятие гипотезы Кантора, ни отрицание её не противоречат никаким принимаемым в математике (в частности, в теории множеств) аксиомам.

Я слишком слаб в математике, чтобы что-то тут понять.

[Brukvalub]

Linkey в сообщении #1115392 писал(а):

Я слишком слаб в математике, чтобы что-то тут понять.

Вывод: садитесь за учебники и подтягивайте математику, тогда и поговорим.

[Munin]

Linkey в сообщении #1115392 писал(а):

Я слишком слаб в математике, чтобы что-то тут понять.

А тогда чё вы хотите от окружающих?

[Dmitriy40]

Более простых примеров?
5-я аксиома Евклида тогда вполне подходит.

[arseniiv]

Вы таки будете смеяться, но теорему по определению всегда возможно доказать.

[Dmitriy40]

Ага, а если вдруг таки невозможно - то переименуем и успокоимся?

[mihaild]

Собственно по определению, теорема (в теории) - это доказуемое утверждение. Не надо называть что-то теоремой, пока оно не доказано.

[arseniiv]

Dmitriy40 в сообщении #1115420 писал(а):

Ага, а если вдруг таки невозможно - то переименуем и успокоимся?

Как хотите, т. к. ничего делать не придётся. Теорема теории $\mathcal F$ — это формула, выводимая из формул $\mathcal F$. Впрочем, уже написали.

[venco]

(Вопрос по поводу)

А есть ещё, кроме ВТФ, гипотезы, исторически называемые теоремами?

[Dmitriy40]

Да, хороший вопрос, сам хотел задать.
Русская вики говорит лишь про "Обратная теорема теории Галуа", остальное или гипотезы или проблемы. Ну ещё из алгоритмов что-то там, но не факт что не погрешность терминологии.

[divbyzero1]

iifat в сообщении #1115357 писал(а):

аксиома

Вопрос был, вроде, о теореме, а аксиома это просто посылка, ее доказывать не требуется.

-- 16.04.2016, 01:21 --

Linkey в сообщении #1115285 писал(а):

Я слышал что есть случаи, когда доказывали, что какую-то теорему невозможно ни доказать, ни опровергнуть (звучит как масло не масляное). Можете привести примеры?

Это скорей всего не о теоремах, а о утверждениях. Типичный пример -- парадокс надписи в рамке, например, (хотя, при чем тут рамка?:)). Звучит примерно так: пусть у нас есть надпись: то что тут написано -- ложь. Допустим, утверждение истинно. Но тогда оно лживо, так как утверждает о себе что она лживо, а по факту является истинным. Значит оно не может быть истинным. Теперь допустим, оно ложно. Но оно именно это и утверждает, что оно ложно, соответственно, оно не может быть ложным. Приходим к парадоксу.

Вообще, любой логический парадокс является частным случаем. Это, собственно, видимо, основная проблема логики вообще. И на мой взгляд, причина тут в том, что логика пытается все свести к единой истине, тогда как единой истины не существует:)