Подбор частного решения уравнения Риккати

[Hasek]

Необходимо решить дифференциальное уравнение вида $y' = -y^2 - y(1 + t^2) + t^2$. Насколько я знаю, это называется уравнением Риккати и для его решения сначала было бы хорошо подобрать какое-нибудь частное решение, после чего задачу можно будет свести к решению соответствующего уравнения Бернулли. Частное решение здесь, видимо, следует искать в виде полинома. У меня возникли трудности с его подбором, ведь если полином будет чётной степени, то слева из-за дифференцирования степень станет нечётной, а в правой части будет стоять полином чётной степени. Аналогично с решением в виде полинома нечётной степени. Буду благодарен за подсказки.

[provincialka]

Хм... надо, конечно, взять бумагу и карандаш... А пока такое соображение: почему бы старшей степени многочлена справа не сократиться?

[Hasek]

Я может быть что-то упускаю, но старшая степень справа появится в слагаемом $y^2$ и сократиться она может только со слагаемым $-yt^2$, но тогда в правой части остаётся $-y+t^2$, а слева производная, имеющая степень на единицу меньше.

[provincialka]

Чтобы степени сократились, придётся брать константу. Но подходящей нет. Вы уверены, что все знаки указаны верно?

-- 13.04.2016, 14:02 --

На самом деле все возможные полиномы легко исследуются в общем виде. Сначала показываем, что степень больше двух не подходит. Квадратичные полиномы исследуем в общем виде.

[Hasek]

Да, уверен. Давайте расскажу, как я получил это уравнение, заодно может быть и остальное проверите.

Изначально строю асимптотику задачи
$\begin{cases} \varepsilon \frac{du}{dt} = -u(u-a(t)), ~a(t) = 1-t^2, ~0<t\le 4\\ u(0,\varepsilon) = u^0 \end{cases}$

Вырожденное уравнение (при $\varepsilon = 0$) имеет два корня: $\varphi_1(t) = 1-t^2$ и $\varphi_2(t) = 0$. Они пересекаются при $t = 1$. Так как первый корень устойчив на интервале $0 < t < 1$, а второй на $t > 1$, то составной корень имеет вид $\hat u = 1 - t^2$ на $0 <t\le 1$ и $\hat u = 0$ на $1 \le t \le 4$. Это регулярная часть асимптотики.

Пограничная часть асимптотики должна определиться из задачи
$\begin{cases} \frac{dQ}{d\tau} = f(0,\varphi_1(0)+Q,0)\\ \varphi_1(0) + Q(0) = u^0, \end{cases}$
где $f$ -- правая часть исходного уравнения, $\tau = \frac{t}{\varepsilon}$ -- растянутая переменная.

Получаю своё уравнение Риккати: $\frac{dQ}{d\tau} = -(1+Q)^2 + (1-t^2)(1+Q) = \ldots = -Q^2 - Q(1+t^2) + t^2$.

[provincialka]

Всё не проверяла... но у вас явно правая часть на множители раскладывается в предпоследнем выражении. Так что берите $Q=-1$, и вот оно -- решение!
(именно его я и подозревала!)

-- 13.04.2016, 14:56 --

Собственно, уравнение будет уравнением Бернулли для $y=Q+1$

[Hasek]

Опять какая-то ерунда получается... Пусть, как Вы подсказали, $y = Q + 1$. Тогда получаем уравнение $\frac{dy}{dt} = -y^2 + (1-t^2)y$. Легко видеть, что если решение есть, то оно должно быть полиномом второй степени.

Подставляю $y = at^2 + bt +c$ в уравнение и получаю вот что:
$2at +b = t^4(-a-a^2) + t^3(-b-2ab) + t^2(-2ac-b^2+a-c) + t(-2bc+b) + (c-c^2)$

Отсюда $a = b = c = 0$.

[DeBill]

Hasek в сообщении #1114720 писал(а):

уравнение $\frac{dy}{dt} = -y^2 + (1-t^2)y$.

Ну, и дальше - как учили: разделите на $y^2$, и для переменной $z=\frac{1}{y}$ получите линейное неоднородное уравнение...

[Someone]

Hasek в сообщении #1114720 писал(а):

получаем уравнение $\frac{dy}{dt} = -y^2 + (1-t^2)y$

И какого типа это уравнение?

[Hasek]

Разобрался, спасибо за ответы, особенно provincialka.