Признаки сходимости несобственных интегралов

[dmitry4xy]

Здравствуйте.
Две вещи, которые не поддаются моему пониманию:

1) Сходимость интегралов наподобие
$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^{5/3}+x^{1/3}}$
$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}+x^{4}}$
достаточно легко смотрится через раскрытие по определению: $\lim\limits_{\varepsilon\to0}^{}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx$
Когда смотрим через признаки сходимости, то получаем в первом случае $\frac{1}{x^{5/3}+x^{1/3}} < \frac{1}{x^{5/3}}, \alpha=\frac{5}{3}>1 \Rightarrow \frac{1}{x^{5/3}}$ - расходится. Но из того, что большая функция расходится, не следует, что меньшая расходится тоже. Аналогично для второго интеграла.
Вопрос: можно ли подобраться через признаки сходимости к определению сходимости-расходимости этих интегралов?

2) Сходимость интеграла наподобие
$\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{xlnlnx}$
Была попытка раскрыть по определению, но все упирается в интеграл вида $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{lnt}, t = lnx $
Гугл сказал, что это логарифмический интеграл, а его первообразная с бесконечной суммой мне не нравится совершенно.
Вопрос: Как подбираться к такому? Как это можно решить через признаки?

[gris]

1) Сравнение (для положительных функций) надо подбирать так: Ищем большую сходящуюся (в смысле интеграла) или меньшую расходящуюся. Есть ещё сравнение по эквивалентности (когда предел отношения равен единице).

[provincialka]

dmitry4xy, а вы слышали понятие "главная часть"? Например, что главнее в нуле -- $x^\frac53$ или $x^\frac13$?

-- 11.04.2016, 19:46 --

А чем вам не нравится интеграл $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln t}$? Сравните $\ln t$ с какой-нибудь степенью.

[dmitry4xy]

gris в сообщении #1114206 писал(а):

1) Сравнение (для положительных функций) надо подбирать так: Ищем большую сходящуюся (в смысле интеграла) или меньшую расходящуюся. Есть ещё сравнение по эквивалентности (когда предел отношения равен единице).

gris, подскажите, из каких соображений я подбираю большую сходящуюся или меньшую расходящуюся? Четко сформулировать это я сам не могу, но предчувствую, что нельзя просто взять вместо функции $\frac{1}{x^{5/3} }$ для сравнения функцию $\frac{1}{x^{1/3} }$ просто потому, что я захотел. Насколько я понимаю, меня к этому подводит provincialka.

provincialka в сообщении #1114209 писал(а):

dmitry4xy, а вы слышали понятие "главная часть"? Например, что главнее в нуле -- $x^\frac53$ или $x^\frac13$?

-- 11.04.2016, 19:46 --

А чем вам не нравится интеграл $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln t}$? Сравните $\ln t$ с какой-нибудь степенью.

provincialka, честно говоря не сталкивался с этим понятием, но насколько успел понять, надо рассмотреть два предела $\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{\frac{1}{x^{5/3}+x^{1/3}}}{x^{5/3}}$ и $\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{\frac{1}{x^{5/3}+x^{1/3}}}{x^{1/3}}$

А насчет $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln t}$ -- вполне можно применить эквивалентность $\frac{1}{lnx}$ $\sim$ $\frac{1}{x-1}$

[Brukvalub]

dmitry4xy в сообщении #1114280 писал(а):

А насчет $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln t}$ -- вполне можно применить эквивалентность $\frac{1}{lnx}$ $\sim$ $\frac{1}{x-1}$

Это дичь дичайшая, а не эквивалентность!

[dmitry4xy]

Brukvalub в сообщении #1114286 писал(а):

dmitry4xy в сообщении #1114280 писал(а):

А насчет $\int\limits_{e^{2}}^{\infty}\frac{dt}{\ln t}$ -- вполне можно применить эквивалентность $\frac{1}{lnx}$ $\sim$ $\frac{1}{x-1}$

Это дичь дичайшая, а не эквивалентность!

Согласен... Совершенно тупо скопировал с похожего примера... Там нижний предел интегрирования был равен 1. Дичайшая дичь.

[gris]

dmitry4xy, если на пальцах позволите, то вот предположим я хочу проанализировать интеграл $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt x+x^{4}}$. При больших $x$ в данном выражении четвёртая степень играет значительно большую роль, чем корень. Я знаю, что $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}}$ сходится. И предполагаю, что сходиться должен и мой интеграл. То есть мне надо подинтегральную функцию увеличить. Я пишу: $x>1 \Rightarrow \sqrt x+x^4>x^4\Rightarrow \frac{1}{\sqrt x+x^{4}}<\frac{1}{x^{4}}$.
Признак сравнения работает. А теперь рассмотрим
$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{\ x^2+x^{4}}$. При малых $x$ в данном выражении вторая степень играет значительно большую роль, чем четвёртая. Я знаю, что $\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{ x^2}$ расходится. И предполагаю, что расходиться должен и мой интеграл. То есть мне надо подинтегральную функцию уменьшить. Я пишу: $0<x<1 \Rightarrow x^2+x^4<2x^2\Rightarrow \frac{1}{x^2+x^{4}}>\frac{1}{2x^{2}}$.
Признак сравнения работает. А теперь рассмотрим интеграл
$\int\limits_{0}^1\frac{dx}{\sqrt x+x^{4}}$. При малых $x$ в данном выражении корень играет значительно большую роль, чем четвёртая степень. Я знаю, что $\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt x}$ сходится. И предполагаю, что сходиться должен и мой интеграл. То есть мне надо подинтегральную функцию увеличить. Я пишу: $0<x<1 \Rightarrow \sqrt x+x^4>\sqrt x\Rightarrow \frac{1}{\sqrt x+x^{4}}<\frac{1}{\sqrt x}$.
Признак сравнения работает.
То есть надо ощущать ситуацию .

[provincialka]

А все-таки предельный (асимптотический) вариант признака сравнения удобнее. Но не для логарифма в бесконечности!

[gris]

provincialka, заказано было сравнение Собственно, асимптотика всё-равно присутствует при выборе сравниваемой (?) функции. Но асимптотику в этом случае не надо доказывать, а если использовать эквивалентности, то надо считать предел, а это если делать строго, да ещё по определению так утомительно бывает.
Во втором пункте немного напрягает нижний предел при замене переменной, хотя это не существенно. А в остальном там всё достаточно очевидно. Я бы даже слегка уменьшил функцию, домножив знаменатель на $\ln x$.

[provincialka]

gris
Хм... Я привыкла оба признака называть "признаками сравнения", и с неравенством и асимптотический... просто"сравниваются" функции в разном смысле:"больше-меньше" или "эквивалентны". Но, конечно, для асимптотического признака надо владеть этими самыми эквивалентностями...

[gris]

Терминологический момент. Я было подумал о правообладателе признаков
Потом о принципе "Лучше пользоваться, чем владеть". Хотя в смысле "умения" это одно и то же. И как филологи сдают свои экзамены?

[dmitry4xy]

gris, на пальцах-то на пальцах, но теперь все ясно как солнечный день на Кубе :) Спасибо, что помогли разобраться!