Решение ЛНДУ. Термины.

[Dmitro]

Столкнулся с трудностью. Описываю методику решения ДУ и возникают некоторые трудности с терминологией. Необходимо назвать виды решений линейного неоднородного ДУ.
Во всех учебниках по математике пишут:
$1^0$) сумма $\tilde y + y_1$ решения $\tilde y$ неоднородного ДУ и решения $y_1$ соответствующего однородного ДУ является решением неоднородного ДУ;
$2^0$) общее решение неоднородного ДУ равно сумме общего решения соответствующего однородного ДУ и частного решения неоднородного ДУ.

Однако, каждая составляющая решения ($\tilde y$ и $y_1$) сначала записывается в общем виде с неизвестными коэффициентами и при определенных значениях коэффициентов, после их нахождения.
Сумма $\tilde y + y_1$ безусловно является решением неоднородного ДУ, однако как назвать следующие решения:
1) $\tilde y$ в общем виде (с неизвестными коэффициентами)
2) $\tilde y$ с известными коэффициентами
3) $\tilde y (\text{с известными к-тами}) + y_1 (\text{с неизвестными к-тами})$
4) $\tilde y (\text{с известными к-тами}) + y_1 (\text{с известными к-тами})$
5) $y_1$ с неизвестными коэффициентами
6) $y_1$ с известными коэффициентами

По определениям, которые приводят в учебниках, под термин «общее решение» подпадают 1) и 3); «частное решение неоднородного ДУ» --- 2) и 4).
То есть мало того, что названия решений для 1), 3) и 2), 4) одинаковы, так еще и нет названий для остальных вариантов решений.

В технике (электротехнике) для составляющих решения применяются понятия принужденной (для $\tilde y$) и свободной (для $y_1$) составляющей решения, что на мой взгляд упрощает пояснения, но эти термины технические, а не математические. Существуют ли в математике аналогичные термины чисто для $\tilde y$ и $y_1$? Ни в одном учебнике по диф.уравнениям не находил, чтобы этим составляющим давались отдельные названия.

Может обнаглеть и ввести «свои» термины. Например:
решение с неизвестными к-тами --- «общее»;
решение с известными к-тами --- «конкретное»;
решение однородного ДУ ($y_1$) --- «свободная составляющая» или «составляющая внутренней динамики»;
решение неоднородного ДУ, определяемое только правой частью ($\tilde y$) --- «принужденная составляющая» или «составляющая от внешнего воздействия»;
сумма решений $\tilde y + y_1$ --- «полное решение»…

[Brukvalub]

Dmitro в сообщении #1113852 писал(а):

Может обнаглеть и ввести «свои» термины. Например:

Может, не стОит наглеть, ведь и без вас вокруг столько наглых, что жить тошно...Попробуйте обойтись уже существующими терминами, ведь у не наглых это получается.

[Dmitro]

Конечно не стОит.
Но в том-то и дело, что с использованием существующих терминов не получатся однозначно выразиться. Например, если написать «найдем частное решение неоднородного ДУ» у читающего может возникнуть непонятка --- какое частное решение имеется в виду: то, которое определяется правой частью, или всё вместе $\tilde y + y_1$ с определенными коэффициентами? Можно конечно каждое решение называть полностью со всеми пояснениями, но тогда получится изложение материала, отягощенное уточнениями и пояснениями за которыми потеряется ясность и краткость. Читающие за деревьями леса не увидят.
Готовлю материал для студентов технических специальностей и хотелось бы отталкиваться от терминов, которые им давали на математике. Вроде «раньше это вы называли …… , а теперь --- принужденная и свободная составляющие». И вот этот переход-мостик между описанием методик решения ДУ в математике и в «технике» и не получается.
Даже не знаю, как комбинируя математические понятия «частное решение», «общее решение», «однородного ДУ», «неоднородного ДУ» описать 6 вариантов составляющих решения. Если даже $\tilde y$ и $\tilde y + y_1$ называются одним термином --- «решение неоднородного ДУ». Прошу совета.

[ewert]

Dmitro в сообщении #1114270 писал(а):

Например, если написать «найдем частное решение неоднородного ДУ» у читающего может возникнуть непонятка --- какое частное решение имеется в виду:

А Вы пишите честно: найдём такое, которое гарантируется (притом единственным образом) соотв. теоремой. Ибо соотв. теорема к этому моменту уже обязана быть.

[Brukvalub]

Одно конкретное решение, в котором нет переменных коэффициентов, называется частным решением. Формула решения, содержащая кроме переменной различные буквенные коэффициенты, число которых равно порядку уравнения, называется общим решением. Этих терминов всем всегда хватает.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1114285 писал(а):

Одно конкретное решение, в котором нет переменных коэффициентов, называется частным решением.

Многа лишних букав (вторую треть из трёх следует решительно выкинуть).

[Dmitro]

Попробую назвать всё честно:
1) $\tilde y$ с неизвестными коэффициентами --- общее решение неоднородного ДУ;
2) $\tilde y$ с известными коэффициентами --- частное решение неоднородного ДУ, определяемое воздействием;
3) $\tilde y (\text{с известными к-тами}) + y_1 (\text{с неизвестными к-тами})$ --- сумма частного решения неоднородного ДУ, определяемого воздействием, и общего решения однородного ДУ;
4) $\tilde y (\text{с известными к-тами}) + y_1 (\text{с известными к-тами})$ --- сумма частного решения неоднородного ДУ, определяемого воздействием, и частного решения однородного ДУ;
5) $y_1$ с неизвестными коэффициентами --- общее решение однородного ДУ;
6) $y_1$ с известными коэффициентами --- частное решение однородного ДУ.

Получается длинновато, но, надеюсь, правильно. (Хотя понятие «воздействие» еще нужно ввести.)

[ewert]

Dmitro в сообщении #1114779 писал(а):

1) $\tilde y$ с неизвестными коэффициентами --- общее решение неоднородного ДУ;

Это никуда не годится по принципиальным причинам. Термин "общее решение" жёстко определён: это -- множество всех решений. И для неоднородного уравнения в т.ч. И это не имеет ничего общего с тем, что Вы имели в виду. А пытались Вы иметь в виду вид частного решения (в стандартной его форме).