Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Гипотеза Римана в формулировке о нулях дзета-функции ничего не говорит о распределении простых чисел. Гораздо более наглядна эквивалентная формулировка в виде неравенства https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BD%D0%B0
Такая формулировка явно говорит о величине отклонения количества простых чисел, не превосходящих $x$ при $x \geq 2657$, от интегрального логарифма.
Однако, реальные данные свидетельствуют, что величина данного отклонения значительно меньше, чем указанная в этой эквивалентной формулировке.
То, что гипотеза Римана до сих пор не доказана говорит только о сложности ее доказательства, но не о ее точности.

Гораздо более точные данные дает вероятностный подход к распределению простых чисел. У истоков этого подхода стоят такие математики, как Крамер, Харди, Литтлвуд и др. Посмотрите, какие точные данные дает гипотеза Харди-Литтлвуда о кортежах простых чисел.
Я рассмотрел три вероятностные модели распределения простых чисел в натуральном ряде и все они дают очень близкие результаты. Данные модели имеют значительно меньшую величину отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$ с вероятностью близкой к 1. Это более удобно и с практической точки зрения. Вы задаете вероятность и получаете точность, либо наоборот.

[Karan]

vicvolf, предупреждение за попытку захвата темы.
Обсуждение отделено.

[vicvolf]

Учитывая, что тема уже открыта, чтобы не быть голословным, приведу сравнительные показатели точности двух вероятностных моделей и гипотезы Римана. Показатели третьей модели близки к приведенным.

Сравним следующие показатели: количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)$, целое значение разности - $Li(x)-\pi(x)$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $\sqrt {Li(x)-Li(x)^2/x}$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели - $\sqrt {Li(x)-Li_2(x)}$ ($Li_2(x)=\int_2^x {dt/\ln^2(t)}$), целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $\sqrt {x}\ln(x)/8\pi$.

При $x=10^8$, $\pi(x)=5 761 455$, целое значение разности - $754$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $2330$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$2329$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $7333$.

При $x=10^9$, $\pi(x)=50 847 534$, целое значение разности - $1701$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $7091$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$7089$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $26 087$.

При $x=10^{10}$, $\pi(x)=455 052 511$, целое значение разности - $3104$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $20 841$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$20 839$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $91 663$.

При $x=10^{11}$, $\pi(x)=4 118 054 813$, целое значение разности - $11 588$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $62 836$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$62 834$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $318 851$.

При $x=10^{12}$, $\pi(x)=37 607 912 018$, целое значение разности - $38 263$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $190 246$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$190 239$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $1 099 961$.

На основании этих данных можно сделать следующие выводы:

1. Целое значение разности $Li(x)-\pi(x)$ сравнительно небольшое и укладывается в одно значение среднеквадратичного отклонения первой и второй вероятностной модели.

2. Значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй вероятностной модели для больших значений $x$ практически равны.

3. Значение максимального отклонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана значительно больше значений среднеквадратичных отклонений для первой и второй вероятностной модели.

[Lia]

Темы объединены.
Оффтоп отделен в Пургаторий (М).

[vicvolf]

Известно, что доказанный Адамаром и Валле-Пуссеном закон о простых числах говорит, что значение количества простых чисел $\pi(x)$ асимптотически равно к интегральному синусу - $Li(x)$. Литтлвуд доказал, что $\pi(x)$ колеблется около функции $Li(x)$, принимая бесконечное множество раз значение меньше и больше. Поэтому интересен вопрос изучения амплитуды этих колебаний, т.е. отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$. Гипотеза Римана, если будет доказана, даст почти предельно хорошую оценку этого отклонения - $\sqrt {x}\ln(x)/8\pi$. Ключевое слово здесь - почти. Литтлвуд считал, что может быть более сильная оценка. Вероятностные подход дает такую оценку (см. сообщение выше).

Данный подход дает также другие результаты. С вероятностью 0,6827 значение отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$ не превосходит одного среднеквадратичного отклонения указанных выше вероятностных моделей. Это соответствует большим значениям $x$, для которых значение $\pi(x)$ уже известно. С другой стороны с вероятностью 0,3173 значение отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$ превосходит одно среднеквадратичное отклонение указанных выше вероятностных моделей. Это возможно для очень больших значений $x$, для которых значение $\pi(x)$ еще пока не известно.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1113784 писал(а):

Известно, что доказанный Адамаром и Валле-Пуссеном закон о простых числах говорит, что значение количества простых чисел $\pi(x)$ асимптотически равно к интегральному синусу - $Li(x)$.

Извините - интегральному логарифму.

[arseniiv]

\mathrm{Li}(x) $\mathrm{Li}(x)$
С полной версией теха, где можно ввести сокращение, лучше использовать \operatorname{Li} — тогда аргумент можно писать без скобок, и пробелы при этом будут правильными: $\operatorname{Li}x,\operatorname{Li}(x)$.

[vicvolf]

arseniiv Спасибо! А по существу?

[arseniiv]

Т. е. вы бы предпочли, чтобы про написание $\mathrm{Li}$ вам сказали много позже, но вместе с ответом, касающимся теории чисел? Что ж, всем не угодишь, я к этому уже привык.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1113420 писал(а):

На основании этих данных можно сделать следующие выводы:

1. Целое значение разности $Li(x)-\pi(x)$ сравнительно небольшое и укладывается в одно значение среднеквадратичного отклонения первой и второй вероятностной модели.

2. Значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй вероятностной модели для больших значений $x$ практически равны.

3. Значение максимального отклонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана значительно больше значений среднеквадратичных отклонений для первой и второй вероятностной модели.

Шедеврально! Произведены некие сомнительные расчеты на ЭВМ для пяти аргументов, и на основании этих расчетов сделаны выводы о поведении функций для ВСЕХ достаточно больших аргументов! Уровень третьеклассника сельской школы!

[vicvolf]

В этой теме я не занимаюсь описательной статистикой, т.е. расчётом выборочных характеристик в отсутствие предпосылок о вероятностной природе данных. Иначе бы мне действительно понадобился определенный объем выборочных данных. Здесь я рассматриваю вероятностные модели конкретных объектов и статистика тут не причем.
Вам как профессиональному преподавателю нельзя путать теорию вероятности и математическую статистику!

[Brukvalub]

vicvolf, мне все равно, какой именно чушью вы тут занимаетесь. Я делаю выводы только из вами же написанного. Вы написАли:

vicvolf в сообщении #1113420 писал(а):

При $x=10^8$, $\pi(x)=5 761 455$, целое значение разности - $754$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $2330$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$2329$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $7333$.

При $x=10^9$, $\pi(x)=50 847 534$, целое значение разности - $1701$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $7091$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$7089$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $26 087$.

При $x=10^{10}$, $\pi(x)=455 052 511$, целое значение разности - $3104$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $20 841$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$20 839$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $91 663$.

При $x=10^{11}$, $\pi(x)=4 118 054 813$, целое значение разности - $11 588$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $62 836$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$62 834$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $318 851$.

При $x=10^{12}$, $\pi(x)=37 607 912 018$, целое значение разности - $38 263$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $190 246$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$190 239$, целое максимальное отклонение $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $1 099 961$.

Видим, что здесь перечислены неважно каким методом полученные и неважно, правильные или нет, значения функций для ПЯТИ КОНКРЕТНЫХ значений аргумента.
Далее именно вы пишете:

vicvolf в сообщении #1113420 писал(а):

На основании этих данных можно сделать следующие выводы:

1. Целое значение разности $Li(x)-\pi(x)$ сравнительно небольшое и укладывается в одно значение среднеквадратичного отклонения первой и второй вероятностной модели.

2. Значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй вероятностной модели для больших значений $x$ практически равны.

3. Значение максимального отклонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана значительно больше значений среднеквадратичных отклонений для первой и второй вероятностной модели.

Тем самым, именно вы на основании нескольких значений (неважно, достоверных, или нет), делаете вывод о поведении этих функций при ВСЕХ достаточно больших значений их аргумента.
Не нужно быть преподавателем математики, достаточно быть разумной домохозяйкой, чтобы понять, что либо вы чудовищно безграмотны в математике, либо намеренно подтасовываете свои "исследования", пытаясь придать ничего не значащим вычислениям нескольких значений глобальную всеобщность.
Так вам понятнее суть моих претензий?

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1114355 писал(а):

vicvolf в сообщении #1113420 писал(а):

На основании этих данных можно сделать следующие выводы:
1. Целое значение разности $Li(x)-\pi(x)$ сравнительно небольшое и укладывается в одно значение среднеквадратичного отклонения первой и второй вероятностной модели.
2. Значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй вероятностной модели для больших значений $x$ практически равны.
3. Значение максимального отклонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана значительно больше значений среднеквадратичных отклонений для первой и второй вероятностной модели.

Тем самым, именно вы на основании нескольких значений (неважно, достоверных, или нет), делаете вывод о поведении этих функций при ВСЕХ достаточно больших значений их аргумента.

Это просто 5 примеров, которые призваны более наглядно иллюстрировать вероятностные модели. Естественно примеры не являются доказательством и выводы из них делаются только в рамках этих примеров, а не для ВСЕХ, как Вы пишите, значений аргументов. Там слово ВСЕХ вообще не фигурирует и не надо мне приписывать эту ерунду.

Например, никто не говорит, что первый вывод выполняется для ВСЕХ значений $x$. Наоборот, посмотрите следующее мое сообщение от 10.04.2016. Там очерчены вероятностные рамки этого вывода на основании нормальности результирующего распределения, полученных вероятностных моделей.

Я там пишу, что с вероятностью 0,6827 значение отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$ не превосходит одного среднеквадратичного отклонения указанных выше вероятностных моделей. Это соответствует большим значениям $x$, для которых значение $\pi(x)$ уже известно. С другой стороны с вероятностью 0,3173 значение отклонения $|\pi(x)-Li(x)|$ превосходит одно среднеквадратичное отклонение указанных выше вероятностных моделей. Это возможно для очень больших значений $x$, для которых значение $\pi(x)$ еще пока не известно.

В отношении второго вывода в работе доказано, что среднеквадратичные отклонения обеих вероятностных моделей асимптотически равны, а эти пять точек просто иллюстрация этого.

Третий вывод тоже легко доказывается на основании формул модели, так как при больших значениях $x$ выполняется $\sqrt {x} \ln(x)/8\pi > > \sqrt {Li(x)-Li^2(x)/x}$, а эти 5 значений наглядно иллюстрируют это.

Brukvalub в сообщении #1114355 писал(а):

Не нужно быть преподавателем математики, достаточно быть разумной домохозяйкой,

Извините, не знал, учту!

Цитата:

намеренно подтасовываете свои "исследования", пытаясь придать ничего не значащим вычислениям нескольких значений глобальную всеобщность.

Как видите, я не придаю вычислениям глобальную всеобщность, а использую их только в качестве иллюстрации.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1114416 писал(а):

Там слово ВСЕХ вообще не фигурирует и не надо мне приписывать эту ерунду.

Тем не менее, слова

vicvolf в сообщении #1113420 писал(а):

2. Значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй вероятностной модели для больших значений $x$ практически равны.

всякий квалифицированный математик воспримет именно как утверждение о ВСЕХ достаточно больших аргументах.
Иначе нужно определить понятие "большое значение". Вот $10^{10}$ - это "большое значение"? Или оно все же "маленькое значение"?
Итак, раз вы используете понятие "большие значения $x$ " в каком-то новом смысле, то поделитесь определением этого понятия.

[vicvolf]

Это же выводы после примеров, поэтому имеется в виду - для всех указанных (в примерах) больших значений $x$.
Хотя, как я уже писал, выводы 2, 3 справедливы для всех достаточно больших значений $x$.