Аппроксимация многочленом

[StaticZero]

Ну да, я понял, к чему ваше замечание. Но а как тогда, собственно, найти погрешности?

[svv]

Может, опереться на фразу в методичке «Этот многочлен должен как можно лучше описать расчётную кривую»? Эта кривая известна, или в ней надо подбирать параметры?

[StaticZero]

svv в сообщении #1109715 писал(а):

Может, опереться на фразу в методичке «Этот многочлен должен как можно лучше описать расчётную кривую»? Эта кривая известна, или в ней надо подбирать параметры?

Расчётная кривая там представлена в виде

$$ f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + S, $$

где $S$ — остаток ряда. При этом коэффициенты $a_1, a_2$ участвуют в уравнениях на параметры системы, которые определяются с погрешностями. Среди этих погрешностей ведущую роль играют погрешности чисел $\Delta a_1, \Delta a_2$, которые если будут вычеркнуты, то по сути погрешность параметров системы вовсе исчезнет.

[svv]

Я сдаюсь.
Т.е. всё просто: находим аппроксимацию многочленом четвёртой степени и из неё берём $a_1$ и $a_2$.
Вот только как обосновать такой выбор степени, опираясь на минимальность каких-то погрешностей? Мне кажется, в данной ситуации это всё равно, что самого себя поднять за уши: не на что опереться.

[StaticZero]

Ну ладно, спасибо и на этом. Тогда придётся серьёзно потрясти преподавателя, чтобы объяснил, что же всё-таки имеется ввиду.

[Евгений Машеров]

Проблема тут в том, что, если не использовать ортогональные многочлены, коэффициенты аппроксимации многочленом второй степени и первые два коэффициента аппроксимации многочленом четвёртой степени совпадать не будут.
Насколько не будут?
В виде примера:
Взяты 101 значение, равномерно от 0 до 1 с шагом 0.01.
Теоретическая зависимость $y=(x+1)^2=x^2+2x+1$
отягощена нормально распределённой ошибкой со стандартным отклонением 0.1.
Модель второго порядка даёт коэффициенты
$b_0=0.971136$
$b_1=2.171592$
$b_2=0.871418$
Пробуем аппроксимировать четвёртым порядком.
$b_0=0.99944$
$b_1=1.55010$
$b_2=3.78479$
$b_3=-4.63940$
$b_4=2.35422$
То есть ошибка оценки коэффициентов выросла для одного из них почти в 30 раз.
Если взять полиномы ортогональными, то такой проблемы, разумеется, не будет. Поскольку оценки коэффициентов при каждом из них не зависят от наличия прочих. Но остаётся вопрос - зачем тогда члены более высокой степени? Топор в солдатском супе хотя бы навар давал...

[StaticZero]

Извините, что не ответил. Я вообще этого сообщения не заметил, так как тема вниз уехала по какой-то божественной причине.

Я вот что имел ввиду (сообразил, наконец). Пусть есть система линейной МНК-аппроксимации

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} ax + by &=& c, \\ ex + fy &=& g, \\ \end{array} \right. $$

где $x$ — угловой коэффициент прямой, $y$ — свободный член (обозначения взяты для однообразия записи СЛАУ). Коэффициенты известно, как выражаются через результаты измерений.

Имеем тогда, например, для $x$ решение

$$ (af - be)x = cf - bg, \qquad x = \dfrac{cf - bg}{af - be} $$

и относительную погрешность $x$

$$ \dfrac{\Delta x}{x} = \dfrac{f \Delta c + c \Delta f + b \Delta g + g \Delta b}{cf - bg} + \dfrac{f \Delta a + a \Delta f + b \Delta e + e \Delta b}{af - be}. $$

Все эти дельты от коэффициентов в явном виде выражаются через ошибки измерений, соответственно и ошибка $x$ тоже. Вот это я имел ввиду под погрешностью коэффициента.

Евгений Машеров в сообщении #1110768 писал(а):

не использовать ортогональные многочлены

А как использовать ортогональные многочлены? Ведь аппроксимация (наилучшая) имеет однозначный набор коэффициентов; как же их подогнать так, чтобы была ортогональность?