несобств интеграл с двумя параметрами

[Grand.Master]

Посоветуйте как быть..
Имею интеграл

$$\int\limits_{0}^{1} t^x(1-t^2)^{(y-1)/2}dt$$

Нашел условие, что он будет сходится при $x+y>-2$,
но нужно отдельно описать при каком значении $x$ и $y$( т.е. $x>... y>...$)

[Someone]

Там же две особых точки. Рассмотрите сходимость в каждой из них. И вообще определение несобственного интеграла неплохо бы знать.

Grand.Master в сообщении #1113161 писал(а):

Нашел условие, что он будет сходится при $x+y>-2$,

А вот откуда Вы это взяли, я догадаться не могу.

[Brukvalub]

Ну, так это же почти Бэтта-функция (сводится к ней заменой переменной)!

[Grand.Master]

Someone
ну это условие сходимости в нуле..
я взял и сложил самые старшие степени... и далее свел к эталонному интегралу..

Brukvalub
Ну да, это и есть бета функция, я к этому выражению пришел от

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\alpha}(x)\cos^{\beta}(x) dx$$

, но пока мы как бы этого не знаем..)

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1113180 писал(а):

ну это условие сходимости в нуле.

Извините, это чушь.

[Grand.Master]

Someone
Поясните тогда, как рассмотреть сходимость в нуле?

[Someone]

Сравнением с эталонным интегралом с особенностью в нуле.

[Grand.Master]

Someone
ну так интеграл будет эталонный, подынтегральная функция которого будет в нуле больше, чем изначальная подинтегральная функция

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{t^{-x+1-y}}$$

соответственно он будет сходиться при $ x+y>-2$
Разве нет?

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1113187 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{t^{-x+1-y}}$$

О боже! Фобос и Деймос!

И как Вы это чудо получили?

[Grand.Master]

Someone
Перемножил самые высшие степени которые могут получиться в этом выражении

[provincialka]

Grand.Master
Так ведь это степени разных выражений! $(1-t)$ в нуле к 0 даже не стремится!

-- 07.04.2016, 22:50 --

(Оффтоп)

Мне как-то студентка написала в контрольной: "Если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь не пострадает". На что я ей ответила, что её оценка от такого пострадает точно!

[Grand.Master]

provincialka
все все.. Кажется стал понимать..
в 0 будет сходиться при $x>-1$
Осталось рассмотреть в $1$

-- 07.04.2016, 23:06 --

provincialka
А в 1 как рассмотреть тогда?

[provincialka]

Grand.Master
Подсказка: $1-t^2=(1+t)(1-t)$, причём при $t\to 1$ имеем $(1+t)\to 2\ne0$

[Grand.Master]

provincialka
А, все спасибо огромное разобрался.

[provincialka]

Вспомните ещё замечание

Brukvalub в сообщении #1113169 писал(а):

Ну, так это же почти Бэтта-функция (сводится к ней заменой переменной)!

Вы бы могли за новую переменную взять, скажем, $\sin^2x=t$. Получилось бы чуть-чуть более симметрично. Впрочем, это неважно!