2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:04 


19/05/14
87
Посоветуйте как быть..
Имею интеграл
$$\int\limits_{0}^{1} t^x(1-t^2)^{(y-1)/2}dt$$
Нашел условие, что он будет сходится при $x+y>-2$,
но нужно отдельно описать при каком значении $x$ и $y$( т.е. $x>...   y>...$)

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Там же две особых точки. Рассмотрите сходимость в каждой из них. И вообще определение несобственного интеграла неплохо бы знать.

Grand.Master в сообщении #1113161 писал(а):
Нашел условие, что он будет сходится при $x+y>-2$,
А вот откуда Вы это взяли, я догадаться не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ну, так это же почти Бэтта-функция (сводится к ней заменой переменной)! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:26 


19/05/14
87
Someone
ну это условие сходимости в нуле..
я взял и сложил самые старшие степени... и далее свел к эталонному интегралу..

Brukvalub
Ну да, это и есть бета функция, я к этому выражению пришел от $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\alpha}(x)\cos^{\beta}(x) dx$$, но пока мы как бы этого не знаем..)

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Grand.Master в сообщении #1113180 писал(а):
ну это условие сходимости в нуле.
Извините, это чушь.

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:30 


19/05/14
87
Someone
Поясните тогда, как рассмотреть сходимость в нуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Сравнением с эталонным интегралом с особенностью в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:36 


19/05/14
87
Someone
ну так интеграл будет эталонный, подынтегральная функция которого будет в нуле больше, чем изначальная подинтегральная функция
$$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{t^{-x+1-y}}$$
соответственно он будет сходиться при $ x+y>-2$
Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Grand.Master в сообщении #1113187 писал(а):
$$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{t^{-x+1-y}}$$
О боже! Фобос и Деймос!

И как Вы это чудо получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:42 


19/05/14
87
Someone
Перемножил самые высшие степени которые могут получиться в этом выражении

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Grand.Master
Так ведь это степени разных выражений! $(1-t)$ в нуле к 0 даже не стремится!

-- 07.04.2016, 22:50 --

(Оффтоп)

Мне как-то студентка написала в контрольной: "Если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь не пострадает". На что я ей ответила, что её оценка от такого пострадает точно! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 23:03 


19/05/14
87
provincialka
все все.. Кажется стал понимать..
в 0 будет сходиться при $x>-1$
Осталось рассмотреть в $1$

-- 07.04.2016, 23:06 --

provincialka
А в 1 как рассмотреть тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Grand.Master
Подсказка: $1-t^2=(1+t)(1-t)$, причём при $t\to 1$ имеем $(1+t)\to 2\ne0$

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 23:12 


19/05/14
87
provincialka
А, все спасибо огромное разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: несобств интеграл с двумя параметрами
Сообщение07.04.2016, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Вспомните ещё замечание
Brukvalub в сообщении #1113169 писал(а):
Ну, так это же почти Бэтта-функция (сводится к ней заменой переменной)! :shock:

Вы бы могли за новую переменную взять, скажем, $\sin^2x=t$. Получилось бы чуть-чуть более симметрично. Впрочем, это неважно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group