Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[lasta]

В предыдущей теме отсутствуют новый подход к проблеме, который основательно меняет прежнюю попытку применить бесконечный спуск в ВТФ.
Бесконечный спуск на первый взгляд является простым методом доказательств сложных утверждений. Но его создал Ферма.
Поэтому введем несколько правил прежде, чем запустить этот механизм в дело.
Правило 1. Изначально не делать предположения о существовании тройки решения уравнения Ферма, для создания каких либо формул по соотношениям между числами. Сначала формулы, а потом выводы.
Правило 2. Работать только с натуральными числами. Не допускать в формулах неопределенные числа типа,- может быть натуральным, либо иррациональным.
Обозначения и определения:
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad \qquad \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$
Степени:
$a^p=[a^p-(a+b-c)^p]+ (a+b-c)^p; \quad \text {с учетом (1),(5)}\quad a^p=V_f+f^p \quad \e(5)$
$f^p= p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\e(6)$
$\text {(с учетом (5),(6))}a^p =V_f+ p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(7) $
Теорема верна, если $E\ne 0$. Если $E= 0$, то теорема неверна и $a$ принадлежит тройки решения уравнения Ферма.
Разность степеней
$ V_b=V_f+[V_b-V_f]\text {с учетом (2)}\qquad V_b=V_f +[W_f] \qquad\e(8) $.
Исходное равенство
$ a^p=V_b+E; \qquad \text {с учетом (8)} \qquad a^p=V_f+W_f+E \qquad\e(9)$
Если теорема верна, то $E\ne 0$. И обратное если $E= 0$ то теорема неверна
Доказательство
Пусть $p=3$. Произвольная разность кубов, выраженная через сумму вторых разностей кубов, всегда начинается с куба. Для соседних кубов это 1. Для произвольной разности с шагом $c-b$ - это будет $(c-b)^3$. Не сложно доказывается, что
$V_f- (c-b)^3$ может быть представлена суммой вторых разностей кубов с количеством слагаемых кратным $f$, то есть больше составного числа. Так как, разность кубов $V_b>V_f$, то и количество слагаемых у нее больше. Число взаимно простых множителей у $f$ не менее трех. И один из них, обозначим его как $m$, делит $V_b$, то количество слагаемых у $V_b$ можно уменьшить в $m$ раз. Новое основание$f_n$ без этого множителя станет числом нового куба $f_n^3$. Вместо (8) получим новую разность кубов

$$V_{nb}=V_{nf}+W_{nf}\qquad\e(10),$$

которая будет равняться кубу, а следовательно сохранит все свойства исходного куба $a^3$ . А как разность кубов она сохранит все свойство исходной разности $V_b$. Главным из которых, - количество слагаемых при представлении $V_{nb}$ вторыми разностями будет также больше составного числа. Значит $E_n=0$. И имеем тройку натуральных чисел $a_n,b_n,c_n$ меньшую исходной, но со всеми ее свойствами, что противоречит принципу единственности существования минимальной тройки чисел. Таким образом, получен бесконечный спуск, что не возможно для целых чисел.
Для доказательства общего случая достаточно заменить 3 на $p$. Далее о возможных нюансах обоснования первого шага спуска, а также рассмотрение вопроса, - почему бесконечный спуск не работает для квадратов?

[lasta]

Основные признаки существования бесконечного спуска
Представим степень $f^p$ в виде суммы двух слагаемых
$f^p=F+E$, где $F=p(a+b)(c-a)(c-b)R$. Если $E=0$, то $F$ является степенью натурального числа и для всех чисел $a,b,c$ этого случая делится на $2,3,p$ и на все выражения в скобках.
Поэтому, как бы не уменьшалось количество слагаемых выражения, представляющего разность степеней через вторые разности степеней, свойство делимости на $2,3,p$ и на новые выражения в скобках сохраняется при условии $E_n=0$.
Если $E=0$, то в исходном уравнении существуют как минимум две степени составного числа.
Количество слагаемых, при представлении разности степеней в виде суммы вторых разностей степеней при $E=0$ всегда больше составного числа.

[lasta]

lasta в сообщении #1111729 писал(а):

Число взаимно простых множителей у $f$ не менее трех. И один из них, обозначим его как $m$, делит $V_b$, то количество слагаемых у $V_b$ можно уменьшить в $m$ раз.

Одна из кубов четный. Пусть будет четным $b$. Число $f$ - всегда четное. Пусть $m=2^3$. Это облегчит понимание бесконечного спуска. После деления количества слагаемых, $b/m$ появляется $f^3_n$, для которого всегда найдется разность кубов, в сумме с которой образуется новый куб со статусом куб-разность кубов.

[krestovski]

Уважаемый lasta!
А Вас не затруднит представить полное равенство для случая, когда показатель степени равен 3? Без переобозначений и сокращений. А уже потом объяснять, какую часть Вы обозначили как $E$, какую как $f^3$. А участники сами зададут вопросы для облегчения понимания метода бесконечного спуска...
И ещё не мешало бы, поскольку это новый подход к проблеме, не создавать проблему с самого начала, а объяснять, почему Вы используете в своём равенстве три куба с основаниями $a, b, c$ , куб с основанием $(a+b-c)$, куб $3(a+b)(c-b)(c-a)$? Потому как речь идёт о кубическом равенстве Ферма, - в соответствии с дополнением к правилам форума, - а у Вас в предполагаемом равенстве 5 кубов или всё пестрит неопределённой степенью.
Я так понимаю, что это совершенно новое доказательство? - Так оформите его так, как подобает. И не надо расчитывать на то, что всё будет воспринято не так как вы изложили, а так как Вам хочется.
И не стоит ссылаться на неоспоримые факты. Их тут нет. Ведь дело тут не в оспаривании известного факта. - Вдруг Вам снова так захочется отсекать вопросы. - Есть ваше доказательство. - Это ваше доказательство и Вы обязаны(!) его оформить как положено, а не тяп-ляп.
То, что Вы подразумеваете, может быть истолковано десятью способами, а Ваша задача - отсечь девять не верных толкований, не дожидаясь вопросов. - До того, как вы вынесете это на обсуждение.
Научитесь ценить время участников форума.

[lasta]

krestovski в сообщении #1112856 писал(а):

А Вас не затруднит представить полное равенство для случая, когда показатель степени равен 3? Без переобозначений и сокращений.

Уважаемый krestovski! Я выполнил правило Форума и представил полное доказательство для кубов, используя общую базу определений и обозначений, что допускается правилами форума.

krestovski в сообщении #1112856 писал(а):

почему Вы используете в своём равенстве три куба с основаниями $a, b, c$ , куб с основанием $(a+b-c)$, куб $3(a+b)(c-b)(c-a)$? Потому как речь идёт о кубическом равенстве Ферма, - в соответствии с дополнением к правилам форума, - а у Вас в предполагаемом равенстве 5 кубов или всё пестрит неопределённой степенью.

Правила не ограничивают количество необходимых слагаемых в используемых равенствах. Хотя представленные в теме равенства тривиально просты. Большинство из них состоят всего из трех слагаемых. Читайте внимательно определения и обозначения. В дополнительных материалах я постараюсь пояснить трудные в понимании места. Что касается замечаний общего характера, например, нарушения установленных
правил, то это прерогатива Заслуженных участников и Модераторов форума.

[lasta]

krestovski в сообщении #1112856 писал(а):

почему Вы используете ......, куб с основанием $(a+b-c)$,

Очень подробно будет так: Любой куб можно представить суммой, состоящей из любой разности кубов, меньшей данного куба и соответствующего куба. То есть $a^3=[a^3-(a-d)^3]+(a-d)^3$. Обозначим разность кубов как $[a^3-(a-d)^3]=V_f$. А так как разность кубов произвольная, то пусть $d=c-b$, тогда расшифровывается и наш куб $(a-d)^3=(a+b-c)^3=f^3$. Отметим также, что все числа у нас произвольные, натуральные. Если произвести небольшие преобразования, то придем к равенству $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)+(a^3+b^3-c^3)$. Примем это как общеизвестный и достоверный факт. Обозначим $(a^3+b^3-c^3)=E$ Если теорема не верна, то $E=0$. И наш куб, в этом случае, определится равенством $f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ Тогда $a^3=V_f+f^3$. Как видите, все очень просто.

[ovsov]

lasta в сообщении #1113034 писал(а):

krestovski в сообщении #1112856 писал(а):

почему Вы используете ......, куб с основанием $(a+b-c)$,

Очень подробно будет так: Любой куб можно представить суммой, состоящей из любой разности кубов, меньшей данного куба и соответствующего куба. То есть $a^3=[a^3-(a-d)^3]+(a-d)^3$. Обозначим разность кубов как $[a^3-(a-d)^3]=V_f$. А так как разность кубов произвольная, то пусть $d=c-b$, тогда расшифровывается и наш куб $(a-d)^3=(a+b-c)^3=f^3$. Отметим также, что все числа у нас произвольные, натуральные. Если произвести небольшие преобразования, то придем к равенству $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)+(a^3+b^3-c^3)$. Примем это как общеизвестный и достоверный факт. Обозначим $(a^3+b^3-c^3)=E$ Если теорема не верна, то $E=0$. И наш куб, в этом случае, определится равенством $f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ Тогда $a^3=V_f+f^3$. Как видите, все очень просто.

Слишком туманное толкование. Я предлагаю более короткое.
Известно тождество
$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)+(a^3+b^3-c^3)$. Обозначим $(a^3+b^3-c^3)=E$ Если теорема Ферма не верна, то есть $E=0$, следовательно имеем $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$.
ТС, я так понимаю, собирается (намерен) воспользоваться методом бесконечного спуска для доказательства несостоятельности последнего равенства. Мне уже интересно далее следить за успехами ТС в этой теме.
Удачи!

[vxv]

ovsov в сообщении #1113060 писал(а):

Обозначим $(a^3+b^3-c^3)=E$ Если теорема Ферма не верна, то есть $E=0$, следовательно имеем $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$.

А почему сразу не так:

$$(2k)^3=3(a+b)(ab-2kc)$$

«было бы меньше ошибок, и обсуждение закончилось бы быстрее».

[lasta]

ovsov в сообщении #1113060 писал(а):

Слишком туманное толкование. Я предлагаю более короткое.

Уважаемый ovsov! Спасибо за участие и проявленный интерес к теме.

vxv в сообщении #1113094 писал(а):

А почему сразу не так:

$$(2k)^3=3(a+b)(ab-2kc)$$

«было бы меньше ошибок, и обсуждение закончилось бы быстрее».

Уважаемый vxv! Ваша формула была неоднократно раскритикована, в том числе и Заслуженным участником форума gris. Считаю не уместным с Вашей стороны вставлять ее в чужую тему. И рассматриваю это как захват темы, который пресекается на форуме.

[vxv]

lasta в сообщении #1112946 писал(а):

Что касается замечаний общего характера, например, нарушения установленных
правил, то это прерогатива Заслуженных участников и Модераторов форума.

[ishhan]

lasta в сообщении #1113034 писал(а):

И наш куб, в этом случае, определится равенством $f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ Тогда $a^3=V_f+f^3$. Как видите, все очень просто.

Приветствую Lasta и всех заинтересованных этой темой!
Формула с участием $f=a+b-c$ мне хорошо знакома и её вполне достаточно для доказательства 1 случая втф3.
У Леонарда Эйлера в "неопубликованных рукописях" есть доказательство втф3 методом "спуска", но там используется стандартное уравнение ВТФ3
Хотелось бы более подробного изложения моментов связанных с разложением на множители числа $f$ и его роли в вашем доказательстве.

[lasta]

ishhan в сообщении #1113236 писал(а):

Хотелось бы более подробного изложения моментов связанных с разложением на множители числа $f$ и его роли в вашем доказательстве.

Уважаемый ishhan! Благодарю Вас за проявленный интерес к теме.Буду признателен за любые полезные советы, предложения по раскрытию узких мест. Подробное изложение будет позже. Сейчас пока надо разобраться с не математическим абсурдом.

vxv в сообщении #1113139 писал(а):

lasta в сообщении #1112946

писал(а):
Что касается замечаний общего характера, например, нарушения установленных
правил, то это прерогатива Заслуженных участников и Модераторов форума.

Уважаемый vxv, да, я это писал. Но не высказать свое возмущение по попытке навязать дискуссию в данной теме по Вашей абсурдной, с ошибками на самом низком уровне идее, конечно не могу. Порядка 30 раз Вам доказывали ошибочность Ваших утверждений участники форума, среди которых Заслуженный участник gris, очень уважаемые участники как Феликс Шмидель, ananova, Vasili.Я был последним, который все еще надеялся, что наконец-то до Вас дойдет.В конце концов у Вас есть своя тема, вот и дискутируйте там, если еще кто проявит интерес.











[/quote]

[krestovski]

Очень подробно будет так: Любой куб можно представить суммой, равной предстоящему кубу плюс разность этих двух кубов. Обозначим разность кубов как $d = b^3-(b-m)^3$ где $m=1$, получаем $b^3 = (b-m)^3 + (b^3-(b-m)^3) = (b-m)^3 + d$. То есть меньший куб плюс его разность с последующим.
Если же мы рассматриваем два произвольных куба с разностью $d$, то это означает, что величина $m$ является произвольной и тогда обозначив меньший куб как $a^3$, мы определяем его как $a^3=(b-m)^3$, а разность $d$ равна $(b^3-a^3)$ .
Откуда $b^3=a^3+d=(b-m)^3+(b^3-a^3) = (b-m)^3+(b^3- (b-m)^3)=b^3$.

Теперь вопрос: что такое в ваших рассуждениях величина $c$ и $b$? – И, разумеется, в ваших обозначениях.
Ведь разность двух кубов, у которых разность оснований равна, например $7$, равна сумме семи разностей соседних кубов. Если разность оснований равна $H^S$, то это сумма последовательных $H^S$ разностей кубов.
Потому и вопрос: как согласуются величины $c$ и $b$
1. между собой.
2. каждая из них с кубом $a^3$.
3. с количеством слагаемых разностей кубов.

Аналитически полное равенство верно. Но в нём, - что это за величины $c$ и $b$ ?
И по самому равенству на вопрос Вы так и не ответили. Ведь если равенство записать правильно, то всё просто: сумма двух кубов равна сумме трёх кубов. - Потому и спросил: какое отношение к равенству Ферма?

-- 08.04.2016, 21:04 --

Теперь следующее.

ovsov в сообщении #1113060 писал(а):

$f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$

Данный куб накладывает определённые ограничение на рассматриваемое Вами равенство.
Вы же понимаете, что если присутствует числовой коэффициент, то он является делителем для конечного результата. В данном случае для куба, полученного в соответствии с вышеприведённой цитатой.
В связи с этим, в данном случае, Вы рассматриваете только кубы кратные трём. А именно $6^3, 9^3, 12^3...$, иными словами, кубы вида $3x$, потому как все остальные не делятся на $3$ нацело.
Вопрос: почему Вы говорите о доказательстве, не упоминая тот факт, что используемое Вами равенство не охватывает все кубы с натуральными основаниями?
Ведь всё просто: оставьте в одной части равенства $f^3$, а в другую перенесите все остальные части равенства, - и это будет означать, что другая часть равенства делится на $3$.
Что с этим будем делать?

-- 08.04.2016, 21:32 --

И в завершение вечера вопросов.
Вы не ответили на вопрос по числам вида $6k+1$, хотя сами сообщили, что используете числа этого вида.
Я приведу вам только одну тройку чисел, с которыми выполняется используемое Вами равенство.
Это $a=11$, $b=13$, $c=14$.
Откуда получаем $(a+b-c)^3=10^3=1000$, $f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)=216=6^3$ и $(a^3+b^3-c^3)=784$. Следовательно $1000=216+784$.
Вопрос: где тут числа вида $6k+1$?
Я вижу одно:$b=13$. Но пока не понимаю его место и роль в данном равенстве. А где остальные числа этого вида?

[lasta]

krestovski в сообщении #1113436 писал(а):

Вы не ответили на вопрос по числам вида $6k+1$, хотя сами сообщили, что используете числа этого вида.
Я приведу вам только одну тройку чисел, с которыми выполняется используемое Вами равенство.
Это $a=11$, $b=13$, $c=14$.
Откуда получаем $(a+b-c)^3=10^3=1000$, $f^3=3(a+b)(c-a)(c-b)=216=6^3$ и $(a^3+b^3-c^3)=784$. Следовательно $1000=216+784$.
Вопрос: где тут числа вида $6k+1$?
Я вижу одно:$b=13$. Но пока не понимаю его место и роль в данном равенстве. А где остальные числа этого вида?

Уважаемый krestovski, числа вида $(6k+1)$ рассматривались в теме "редукция в ВТФ" для соседних кубов для случая если теорема не верна. Тогда меньшее число $(a)$ будет всегда числом вида $6k+1$. Число$(b)$ в этом случае будет числом вида $(3k)$ или $(3k-1)$. Я ни когда не говорил, что все числа тройки вида $6k+1$
Ваш пример -это случай - теорема верна. Если $E\ne 0$, то теорема верна для любой произвольной натуральной тройки чисел. И эти числа не обременены ни какими ограничениями. Об этом Вам было разъяснено ранее в упомянутой теме.
В данной теме исследуется произвольная натуральная тройка чисел $a,b,c$, что отражено в разделе обозначения и определения. Поэтому охватываются все числа.

[krestovski]

Ну и кому нужны эти отписки вместо ответа? Это называется "ялозить по паркету".
Вы же прекрасно понимаете, что накладываются строгие ограничения на натуральные $a, b, c$. Потому как мало того что $a<b<c$, так ещё есть ограничение $a>(c-b)$. Это чтобы $f$ не было отрицательным.
А произвольные эти три величины, - без ограничений, - не могут быть по той причине, что у Вас тогда под вопросом ещё и соотношение $R$. - И вот вопрос: так при каких $a$,$b$,$c$ Ваше $R$ будет натуральным числом? Вот это тоже очень интересно. Ведь, например, даже для приведённой мною тройки чисел, которая является одним из множества решений данного равенства, $R=1000/216=4.(629)$ - периодическая дробь.
Только вот как бы я воспользовался Вашими преобразованиями, если у Вас $R$ не целое уже на этапе (3)? А потом и в (6), и в (7), и в (8), и в (9), и в (10)?
То, что Вы написали про натуральность величин, не означает, что имено вот такая Ваша постановка задачи обеспечит их натуральность. - Вы сказали и они стали натуральными?
Так же Вы прекрасно понимаете, что просто используете разложение куба $(a+b-c)^3$. И просто крутите его. Точно так же как многие пользуются равенствами сокращённого умножения. Но вы совершенно не видите за буквенным обозначением, что $R$ не натуральное если данное равенство даже и выполняется. - Но выполняется и без $R$. А Вы берёте и вводите его в равенство.
И про $d=c-b$ я не просто так спросил. Вы исходите из разности кубов, определяя $d$ :

lasta в сообщении #1113034 писал(а):

А так как разность кубов произвольная, то пусть $d=c-b$

А я вот затрудняюсь через произвольные $c$ и $b$ представить сумму разностей кубов, если $a<b<c$, а сами разности кубов образуются в диапазоне от $(a-d)^3$ до $a^3$ и сумма этих разностей равна $(a^3-(a-d)^3)$.
Вот смотрите что у Вас в самом начале:

lasta в сообщении #1111729 писал(а):

Обозначения и определения:
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$

Я так понимаю, что Вы пропустили число. И должно быть так: $f,a,b,c$. А далее: $V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_a=b^p-a^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e$.
Это потому, что я не понимаю, как можно через основания кубов, например, $35^3$ и $22^3$ представить разность кубов $16^3$ и $13^3$, которая равна сумме трёх разностей соседних кубов от $13^3$ до $16^3$ вот так сразу, ещё не имея в распоряжении представление куба $13^3$ через основания кубов $35^3$ и $22^3$.