2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 20:45 


09/11/12
233
Донецк
Уважаемые коллеги ! Предлагается такое упражнение: пусть $A\subset {\Bbb R}^n$ -- произвольное множество. Доказать, что для любого $\varepsilon>0$ существует элементарное множество $B_{\varepsilon}$ такое, что $\mu^*(B_{\varepsilon}\setminus A)<\varepsilon,$ где $\mu^*$ -- внешняя мера. Насчёт правильности этого утверждения не уверен, нашёл в своих старых лекциях. Если кто знает, пожалуйста, подскажите

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если мера -Жорданова, то это ложное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 21:02 


09/11/12
233
Донецк
Почему это так ? Ведь не сказано, что $A\subset B_{\varepsilon}$

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 21:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну а тогда смысл в утверждении?
Оно ценно как вспомогательное, и именно если $A\subset B_{\varepsilon}$.
А если "не сказано" - берем любое элементарное множество с мерой (в кольце элементарных множеств) меньше эпсилон, и все. Для него Ваше утверждение верно, вне зависимости от выбора $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 21:22 


09/11/12
233
Донецк
Да, абсолютно точно, я тоже об этом подумал, спасибо большое. И вот ещё один вопрос, который тоже хотел бы обсудить: существует ли такое измеримое множество $A$ такое, что $m(A\cap [a, b])=(b-a)/2$ для любого отрезка $[a, b]$ ? Заранее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Evgenii2012 в сообщении #1112467 писал(а):
существует ли такое измеримое множество $A$ такое, что $m(A\cap [a, b])=(b-a)/2$ для любого отрезка $[a, b]$ ?

Нет, это противоречит т. Лебега о точках плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: о свойствах внешней меры
Сообщение05.04.2016, 21:57 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо, как-то я об этом не подумал )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group