о свойствах внешней меры

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Предлагается такое упражнение: пусть $A\subset {\Bbb R}^n$ -- произвольное множество. Доказать, что для любого $\varepsilon>0$ существует элементарное множество $B_{\varepsilon}$ такое, что $\mu^*(B_{\varepsilon}\setminus A)<\varepsilon,$ где $\mu^*$ -- внешняя мера. Насчёт правильности этого утверждения не уверен, нашёл в своих старых лекциях. Если кто знает, пожалуйста, подскажите

[Brukvalub]

Если мера -Жорданова, то это ложное утверждение.

[Evgenii2012]

Почему это так ? Ведь не сказано, что $A\subset B_{\varepsilon}$

[Otta]

Ну а тогда смысл в утверждении?
Оно ценно как вспомогательное, и именно если $A\subset B_{\varepsilon}$.
А если "не сказано" - берем любое элементарное множество с мерой (в кольце элементарных множеств) меньше эпсилон, и все. Для него Ваше утверждение верно, вне зависимости от выбора $A$.

[Evgenii2012]

Да, абсолютно точно, я тоже об этом подумал, спасибо большое. И вот ещё один вопрос, который тоже хотел бы обсудить: существует ли такое измеримое множество $A$ такое, что $m(A\cap [a, b])=(b-a)/2$ для любого отрезка $[a, b]$ ? Заранее большое спасибо.

[Brukvalub]

Evgenii2012 в сообщении #1112467 писал(а):

существует ли такое измеримое множество $A$ такое, что $m(A\cap [a, b])=(b-a)/2$ для любого отрезка $[a, b]$ ?

Нет, это противоречит т. Лебега о точках плотности.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, как-то я об этом не подумал )