Подгруппа дробно-линейных преобразований

[PSP]

Имеются дробно-линейные преобразования вида :

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{1}}{b_{1}x+b_{2}y+b} $$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{2}}{b_{1}x+b_{2}y+b}$$

Насколько я понимаю,они образуют группу.
Можно ли в этой группе выделить подгруппу по следующему критерию :
1.У этих преобразований имеются неподвижные точки,т.е.

$$x'= x ,y'= y $$

Как минимум,я предполагаю,их будет 2.
2.Расстояние между этими неподвижными точками можно вычислить.

Так вот,можно ли определить подгруппу,где расстояние между неподвижными точками равно,к примеру , L ?
И как ,если сие можно?

[arseniiv]

PSP в сообщении #1112279 писал(а):

Насколько я понимаю,они образуют группу.

Нет, не образуют, если там в знаменателях действительно везде одна и та же $b$.

Если $b$ всё-таки разные, советую познакомиться с проекивной линейной группой $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$. Она состоит из матриц $\mathbb R^{3\times3}$, рассматриваемых с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Стало быть, фиксированная точка преобразования — это собственный вектор соответствующей матрицы (не важно какой, т. к. $\mathbb R\mathrm P^2$ состоит из троек чисел с точностью до умножения на ненулевое). Ясно, что в данном случае наименьшим числом собственных векторов будет не 2, а 1.

Далее, если $f(a) = a, g(a) = a$, то, разумеется, $(g\circ f)(a) = g(f(a)) = g(a) = a$, т. е. отображения, имеющие общую фиксированную точку, образуют полугруппу, а насчёт группы и большего общего набора фиксированных точек легко додумывается.

Однако если потребовать просто наличие фиксированных точек, притом конкретного их числа, ничего не выйдет. В любую группу входит тождественное преобразование, имеющее бесконечное число фиксированных точек.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[amon]

arseniiv в сообщении #1112384 писал(а):

Ясно, что в данном случае наименьшим числом собственных векторов будет не 2, а 1.

По-моему, по рабоче-крестьянски, все-таки два или $\infty$ (для тождественного), если потребовать невырожденности, и считать бесконечно удаленную точку за точку, поскольку уравнение

$$z=\frac{az+b}{cz+d}$$

имеет либо два, либо бесконечное число корней (с учетом кратности) в комплексной плоскости если $ad-cb\ne 0$.

[arseniiv]

Я сначала подумал, что речь не о $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$. Может, и о нём, кто знает…

[amon]

Не, это я соврал. У уважаемого PSP не такое преобразование как у меня.

[PSP]

Начало топика подправил.
По изучению литературы имею предположение ,что это группа Кремоны.Там куча всего.
А может,всё таки группа $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$. ?
Пропустил эти преобразования через Мапле.Получил результат ,что неподвижных точек куча...Код результата могу привести

Оценить я его пока не могу...

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Напомнило анекдот: Выступает с трибуны некий партийный лидер. Как обычно, долго говорит ни о чем, а потом заявляет: "после моего прошлого выступления меня критиковали за отсутствие в моем выступлении конкретики. Так вот, сегодня я подготовил для вас числа, подтверждающие мою правоту. Вот эти числа: 1247, 158.5, -19, 674, 257.43 , ..."

[PSP]

Brukvalub в сообщении #1112576 писал(а):

(Оффтоп)

Напомнило анекдот: Выступает с трибуны некий партийный лидер. Как обычно, долго говорит ни о чем, а потом заявляет: "после моего прошлого выступления меня критиковали за отсутствие в моем выступлении конкретики. Так вот, сегодня я подготовил для вас числа, подтверждающие мою правоту. Вот эти числа: 1247, 158.5, -19, 674, 257.43 , ..."

(Оффтоп)

Каюсь.Точная аналогия.И что мне делать? Кстати, то тот лидер сделал ?
Наверное, результат Мапле надо пока убрать...

[arseniiv]

PSP в сообщении #1112571 писал(а):

По изучению литературы имею предположение ,что это группа Кремоны.

Какая «это» группа? Пока никаких групп вы не назвали (кроме всей $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$). Преобразования с ровно двумя неподвижными точками группу не образуют:

arseniiv в сообщении #1112384 писал(а):

В любую группу входит тождественное преобразование, имеющее бесконечное число фиксированных точек.

Сформулируйте что-нибудь другое.

Чтобы слова возымели бо́льшую силу: возьмём из $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$ операторы с матрицами (первое, что под руку подвернулось)

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix},\quad AB = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -3 & -1 & 3 \\ -4 & -4 & 6 \end{bmatrix}.$$

У $A, B$ должны быть две фиксированные точки — $(1:0:1), (0:1:1)$. У $AB$ же это $(\frac12:\frac34:1)$ и целая прямая, проходящая через $(1:0:1)$ и $(0:1:1)$ (включая $(-1:1:0)$, конечно). (Надеюсь, это и правда так — выглядит весьма странно. Надо будет нарисовать себе, что этот оператор делает.)

(Оффтоп)

Чем я занимаюсь ночью?

UPD: записал однородные координаты по-однородному.

[PSP]

arseniiv в сообщении #1112592 писал(а):

PSP в сообщении #1112571 писал(а):

По изучению литературы имею предположение ,что это группа Кремоны.

Какая «это» группа? Пока никаких групп вы не назвали (кроме всей $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$). Преобразования с ровно двумя неподвижными точками группу не образуют:

arseniiv в сообщении #1112384 писал(а):

В любую группу входит тождественное преобразование, имеющее бесконечное число фиксированных точек.

Сформулируйте что-нибудь другое.

Чтобы слова возымели бо́льшую силу: возьмём из $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$ операторы с матрицами (первое, что под руку подвернулось)

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix},\quad AB = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -3 & -1 & 3 \\ -4 & -4 & 6 \end{bmatrix}.$$

У $A, B$ должны быть две фиксированные точки — $(1,0,1), (0,1,1)$. У $AB$ же это $(\frac12,\frac34,1)$ и целая прямая, проходящая через $(1,0,1)$ и $(0,1,1)$ (включая $(-1,1,0)$, конечно). (Надеюсь, это и правда так — выглядит весьма странно. Надо будет нарисовать себе, что этот оператор делает.)

(Оффтоп)

Чем я занимаюсь ночью?

(Оффтоп)

Скорее всего, ночью вы занимаетесь математической благотворительностью..

Я по этой теме делаю кое-какие расчёты в Мапле,продумаю и отдам тут на суд.
Тождественное преобразование есть ,плюс куча неподвижных точек.Это по предварителному анализу расчёта...

[PSP]

Каким моим преобразованиям соответствуют Ваши матрицы :

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix},$ ?
Можете явно написать?

[arseniiv]

В книге всё есть.

$$\begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ax + By + Cz \\ Dx + Ey + Fz \\ Gx + Hy + Iz \end{bmatrix},$$

где матрица — компоненты проективного преобразования, а столбцы — однородные координаты, и потому всё может быть покомпонентно умножено на ненулевое число. Зафиксируем аффинную карту и координаты в ней так, что точка $(x,y)$ на ней имеет однородные координаты $(x:y:1)$. Тогда если образ $(x':y':z')$ этой точки лежит в аффинной карте, он имеет в ней координаты $(x'/z',y'/z')$. Что равно, как ни странно,

$$\left(\frac{Ax + By + C}{Gx + Hy + I},\frac{Dx + Ey + F}{Gx + Hy + I}\right).$$

[Lia]

PSP
Предупреждение за постоянное избыточное цитирование. Замечания за него уже неоднократно были.

Пользуйтесь кнопкой "Вставка" или убирайте лишнее.

[Алексей К.]

PSP в сообщении #1112279 писал(а):

можно ли определить подгруппу,где расстояние между неподвижными точками равно,к примеру , L ?

$L$ не пробовал, а $2c$ --- запросто.

Дробно-линейное отображение $w(z)$ определяется тремя точками $z_1,z_2,z_3$ и их образами $w_1,w_2,w_3$:

$$ \frac{(w-w_1)(w_3-w_2)}{(w-w_2)(w_3-w_1)}=\frac{(z-z_1)(z_3-z_2)}{(z-z_2)(z_3-z_1)}.$$

Берёте в качестве неподвижных, например, $z_1=w_1=-c$, $z_3=w_3=+c$ (на оси абсцисс с расстоянием $2c$), получаете

$$w(z)=\frac{(c^2-z_2 w_2)z+c^2(w_2-z_2)}{c^2-z_2 w_2 +(w_2-z_2)z}$$

Вот пример, как оно работает (рисовалось по другому поводу): все зелёные кривые выходят из $z_1$, проходят через $z_2$ (стрелочка) и приходят в $z_3$. Все они получены друг из друга указанным отображением. И синие тоже.



Когда я с ними баловался, они у меня образовывали подгруппу (я тогда открыл для себя этот фактик, и выучил слово "подгруппа").