Давидович: "Отображения множеств"

[irod]

irod в сообщении #1110931 писал(а):

13. Пусть для отображений $f : X \to Y$, $g : Y \to X$ отображение $f \circ g$ тождественно. Верно ли, что $g = f^{-1}$?

Попытка №2.
Ответ. Нет, не верно. Контрпример:

Здесь $f : \{ 1,2,3 \} \to \{ 4,5 \}$, $g : \{ 4,5 \} \to \{ 1,2,3 \}$ и $\forall y \in \{ 4,5 \} [ (f \circ g)(y) = y ]$. При этом $(g \circ f)(2) = 1 \ne 2$. Значит отображение $g \circ f$ не является тождественным, и значит $g$ не является обратным к $f$.

-- 03.04.2016, 11:24 --

15. Доказать, что отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно.

Доказательство.
Пусть есть отображение $f : X \to Y$.

Доказательство $(f \ \text{взаимно однозначно}) \Rightarrow (f \ \text{обратимо})$.
По определению, взаимно однозначность $f$ значит что $\forall y \in Y$ множество $f^{-1}(y)$ состоит из одного элемента. Построим отображение $g : Y \to X$, которое каждому $y$ ставит в соответствие этот самый единственный $x$ из его прообраза $f^{-1}(y)$.
Пусть $f(x) = y$ для произвольного $x \in X$. Тогда

$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x $$

и

$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y. $$

Таким образом, отображения $f \circ g$ и $g \circ f$ - тождественные, и значит отображение $g$ является обратным к $f$.

Доказательство $(f \ \text{обратимо}) \Rightarrow (f \ \text{взаимно однозначно})$.
По определению обратимости $f$ существует отображение $g : Y \to X$, такое что отображения $f \circ g$ и $g \circ f$ - тождественные.
Пусть $f(x) = y$ для произвольного $x \in X$. Тогда

$$ x = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y), $$

т.е. $g$ есть построенное в первой части доказательства отображение, ставящее каждому $y$ в соответствие единственный $x$ из $f^{-1}(y)$. Тот факт что такой $x$ единственный, следует из определения отображения. Если бы $x$ не был единственным, отображение $g$ не было бы определено. Таким образом, $f$ взаимно однозначно.

[grizzly]

13 -- Верно.

15. В сторону $\Rightarrow $.

irod в сообщении #1111710 писал(а):

Пусть $f(x) = y$ для произвольного $x \in X$.

Здесь нужно чуть аккуратнее говорить. Сказанное можно прочитать так, будто $f$ все $x\in X$ переводит в один и то же $y$. Лучше начать так:
Возьмём произвольное $x_0\in X$ и пусть $y_0=f(x_0)$...
Дальше в эту сторону нормально.

В обратную сторону Ваше рассуждение не понятно. Всё что Вам нужно: в начале рассуждения взять произвольный $y\in Y$ и затем для этого $y$ доказать, что (а) он является образом некоторого элемента при отображении $f$ и (б) он является образом ровно одного элемента.

[Ellan Vannin]

irod в сообщении #1111710 писал(а):

13. Попытка №2.
Ответ. Нет, не верно. Контрпример:

Да. Хороший контрпример.

irod в сообщении #1111710 писал(а):

Доказательство $(f \ \text{взаимно однозначно}) \Rightarrow (f \ \text{обратимо})$.

Да, всё верно. Тут вы прямо указываете обратную функцию.

irod в сообщении #1111710 писал(а):

Доказательство $(f \ \text{обратимо}) \Rightarrow (f \ \text{взаимно однозначно})$.

irod в сообщении #1111710 писал(а):

$f \circ g$ и $g \circ f$ - тождественные.
Пусть $f(x) = y$ для произвольного $x \in X$. Тогда

$$ x = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y), $$

А вам не кажется странным, что композицию $f \circ g$ вы никак не используете? Ведь только что вам удалось показать на конкретном примере, как $g \circ f = \mathrm{id}_{X_1} \not\Rightarrow f \circ g = \mathrm{id}_{X_2}$. Получается, вы действуете вопреки своему примеру?

irod в сообщении #1111710 писал(а):

отображение, ставящее каждому $y$ в соответствие единственный $x$

Да, но не каждому $y \in Y$, а только каждому $y \in f(X)$. По крайней мере так получается из ваших рассуждений. Тут самое важное замечание: про области не забывайте. Нельзя без областей никак.

[irod]

grizzly в сообщении #1111724 писал(а):

Здесь нужно чуть аккуратнее говорить. Сказанное можно прочитать так, будто $f$ все $x\in X$ переводит в один и то же $y$. Лучше начать так:
Возьмём произвольное $x_0\in X$ и пусть $y_0=f(x_0)$...

Ок.

grizzly в сообщении #1111724 писал(а):

В обратную сторону Ваше рассуждение не понятно. Всё что Вам нужно: в начале рассуждения взять произвольный $y\in Y$ и затем для этого $y$ доказать, что (а) он является образом некоторого элемента при отображении $f$ и (б) он является образом ровно одного элемента.

Доказательство $(f \ \text{обратимо}) \Rightarrow (f \ \text{взаимно однозначно})$.
По определению обратимости $f$ существует отображение $g : Y \to X$, такое что отображения $f \circ g$ и $g \circ f$ - тождественные.
Возьмем произвольный $y_0 \in Y$. Тогда

$$ (f \circ g)(y_0) = f(g(y_0)) = y_0, $$

т.е. $y_0$ является образом некоторого элемента $g(y_0)$ при отображении $f$.
Покажем, что $y_0$ является образом ровно одного элемента. Пусть $x_0 = g(y_0)$ и пусть $\exists x_0' \in X : f(x_0') = y_0$. Тогда

$$ (g \circ f)(x_0') = g(f(x_0')) = g(y_0) = x_0. $$

По условию отображение $g \circ f$ тождественно, значит $x_0' = x_0$.
Таким образом, $f$ взаимно однозначно.

Ellan Vannin в сообщении #1111728 писал(а):

А вам не кажется странным, что композицию $f \circ g$ вы никак не используете?

Теперь кажется

[grizzly]

irod
Теперь всё правильно и аккуратно получилось.

[irod]

Большое спасибо всем за помощь!
Задачу 16 (со звездочкой) я пока пропускаю, буду думать над ней не спеша, параллельно продвигаясь дальше.
Создал новую тему по следующему листку: http://dxdy.ru/topic107403.html.

(Оффтоп)

Просьба к модераторам: переименуйте пожалуйста эту тему в "Отображения множеств (задачи из Давидовича)".

[irod]

Выкладываю пропущенную задачу 10. Она показалась мне легкой, и сомнений у меня по поводу своего решения нет, но все же.

10. Верно ли, что если для отображения $f: X \to Y$ выполняются условия $f(X) = Y$, $f^{-1}(Y) = X$, то $f$ взаимно однозначно?
Ответ. Нет, не верно. Контрпример:

Здесь $f: \{ 0,1,2 \} \to \{ 3,4 \}$, $f(\{ 0,1,2 \}) = \{ 3,4 \}$, $f^{-1}(\{ 3,4 \}) = \{ 0,1,2 \}$, но $|f^{-1}(3)| = |\{ 0,1 \}| = 2$. Значит, $f$ не взаимно однозначно.

[grizzly]

irod
Да, верно. Будем считать, что использование обозначения $|\cdot |$ здесь осознанно (обратите внимание, что это обозначение вводится у Давидовича на стр. 106, не ранее :)

[irod]

grizzly
Символ $|\cdot|$ в данном случае я использовал как замену слов "количество элементов в множестве". Я понимаю, что возможно для счетных или несчетных множеств не все так просто (и об этом как раз листки 4 и 2д), но у меня в задаче 10 только конечные множества.

[grizzly]

irod
Да, всё понятно. Я не в плане буквоедства, просто хотел предостеречь, что в листке 4 понятие мощности ещё не вводится, и в пределах листка 4 Ваша запись без доп.расшифровки считалась бы некорректной.