Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Ну не должно быть так, - там есть, а там нет.

Кажется я Вас понял,уважаемый krestovski : формулы квадратичного разложения кубов должны выглядеть следующим образом:

$$X^3= (2a+1)^3 = 6 [ 0 + 2^2 +4^2 +6^2+8^2 +.......+ (2a)^2] +(2a+1)$$

,где $a$-целое число

$$Y^3= (2a)^3 = 6 [ 0 +1+3^2 +5^2 +7^2+9^2 +.......+ (2a -1)^2] +(2a)$$

,где $a$-целое число.
Спасибо,так действительно будет "ближе к жизни"

[krestovski]

PhisicBGA в сообщении #1111043 писал(а):

Кажется я Вас понял,уважаемый krestovski

А я Вас не понял, уважаемый PhisicBGA.
Из того, как Вы выразили кубы через переменную $a$ с числовыми коэффициентами, можно заключить, что:
Вы пользуетесь расширеным натуральным рядом, который позволяет считать ноль натуральным числом и рассматривать его как натуральное основание степени и, следовательно, возводить это основание в степень (но без права производить обратные операции). Но с какой стати в определителях чётного и нечётного кубов этот ноль одновременно и там, и там стоит под квадратными скобками? У Вас ноль это целое чётное число. По какой причине с него начинается ряд нечётных квадратов?

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

По какой причине с него начинается ряд нечётных квадратов?

По той причине,уважаемый krestovski ,что без 0 в формуле для нечётных квадратов мы не получим 1:

$$X^3= (2a+1)^3 = 6 [ [2(0)]^2 + [2(1)]^2 +[2(2)]^2 +[2(3)]^2+.......+ [2(a)]^2] +(2a+1)$$

При $a=0$ получаем:

$$X^3= (1)^3 = 6 [ [2(0)]^2 ] +(2(0)+1) = 1 $$

[krestovski]

Уважаемый PhisicBGA!!!
Поскольку Вы только что сообщили, что методом подгонки устанавливаете количественные соотношения между численными значениями и выражениями в переменных... - я просто умываю руки. - Я не хочу иметь отношения к таким "математическим" методам решения задач.
А ведь предупреждал же: поосторожее и внимательнее с численными коэффициентами.

Но, не сдержусь и спрошу напоследок:
...Шура, а скажите как художник - художнику: Вы рисовать умете?...

[PhisicBGA]

Уважаемый krestovski !Понимаю и полностью разделяю Ваше справедливое негодование.Однако молодого подмастерья надо ругать не за злой умысел,а за элементарную не внимательность.Обратите внимание: 0 в моём ответе стоит в ряду чётных квадратов.Просто я не правильно понял вопрос:"По какой причине с него начинается ряд нечётных квадратов?"
Думаю,Вы великодушно разрешите мне переделать мой "натюрморт"

krestovski писал(а):

У Вас ноль это целое чётное число. По какой причине с него начинается ряд нечётных квадратов?

С этой точки зрения,я конечно допустил "ляп". Признаю и спешу исправить.

$$X^3= (2a+1)^3 = 6 [ 0 + 2^2 +4^2 +6^2+8^2 +.......+ (2a)^2] +(2a+1)$$

,где $a$-целое число

$$Y^3= (2a)^3 = 6 [ 1+3^2 +5^2 +7^2+9^2 +.......+ (2a -1)^2] +(2a)$$

,где $a$-целое число.
Да,теперь ясно видно какая в этих формулах потрясающая симметрия полной асимметрии. Просто удивительно.

[PhisicBGA]

Я бы хотел отложить на время новые формулы и вернуться к основной теме,чтобы довести до логического конца доказательство частных случаев ВТФ. Уважаемый krestovski предложил применить к варианту моего доказательства бритву Оккама. Действительно ,зачем плодить сущности,когда можно обойтись и без них.Воспользуемся его советом .Отсечём всё лишнее и оставим только основное уравнение в общем виде,которое выражает наше предположение:

$$Y^3+X^3 =Z^3 .(1)$$

,где $Z>X>Y$ -целые числа. Учитывая чередование чётности ,
предположим : $Y=2b ; X=2a +1 ; Z=2c +1$,где $с>a>b$- целые числа.
Тогда равенство (1) примет следующий вид:

$$(2b)^3+(2a+1)^3 =(2c+1)^3 .(1)$$

,где $c>a>b$ -целые числа.
Приступим к его преобразованию,воспользовавшись биномом Ньютона:

$$(2c+1)^3 -(2a+1)^3 = (2b)^3 $$

$$(2c)^3+6<2c>+1-(2a)^3- 6<2a>-1= (2b)^3 $$

$$6(<2c>-<2a>)= (2b)^3 + (2a)^3 - (2c)^3= 8(b^3+a^3-c^3)$$

$$3(<2c>-<2a>)= 4(b^3+a^3-c^3)$$

$$3(c-a)(2c+2a+1)= 4(b^3+a^3-c^3) .(2)$$

Мы имеем уравнение с тремя неизвестными и ничего больше.Чтобы облегчить ситуацию,начнём рассматривать частные случаи ,тем самым ,упрощая равенство (2).
1.Пусть $b=a$ (случай разности соседних кубов).
Тогда равенство (2) примет следующий вид:

$$3(c-a)(2c+2a+1)= 4 a^3 .(3)$$

Надо признать ,что этот случай здорово облегчил нам жизнь.
Сделаем вполне логичную и законную замену переменной:поскольку $c>a$,то положим

$$ c=a+n $$

,где $n$ -целое число. Подставим в равенство (3) и получим:

$$3n(4a+2n+1)= 4 a^3 $$

Сгруппируем теперь переменные в разных частях равенства:

$$3n(2n+1)= 4a(a^2 - 3n) . (4)$$

Теперь мы видим,что это равенство легко можно превратить в три равенства дробей разных видов следующим образом:
1.Либо:

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{2n+1} $$

2.Либо:

$$ \frac{3n}{a^2- 3n} = \frac{4a}{2n+1}$$

3.Либо:

$$ \frac{n}{a} =\frac{4(a^2- 3n)}{3(2n+1)} $$

Что это нам даёт?А вот что:
Вспомним,что переменные $n$ и $a$ у нас связаны соотношением $c=a+n $. Следовательно при каждом фиксированном значении $c$ значения $a$ и $n$ увеличиваются и уменьшаются в противофазе.В следствии этого,во всех этих равенствах, дроби стоящие по разные стороны в равенстве,так же растут и уменьшаются в противофазе.А это значит ,что равенство дробей во всех этих трёх равенствах возможно лишь в единственном случае,когда равны их числители и знаменатели. Это свойство даёт нам возможность получить в каждом случае два уравнения с двумя неизвестными и найти их решения.
Начнём с первого равенства :

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{2n+1} $$

Равенство возможно только когда

$$ 3n= a^2 - 3n $$

$$ 4a = 2n +1 $$

Или

$$ 6n= a^2 $$

$$ 4a = 2n +1 $$

Из второго уравнения получаем

$$n =(4a-1)/2$$

. Подставляем в первое и получаем квадратное уравнение:

$$ a^2 - 12 a + 3 =0$$

Его дискриминант равен $D = 144 - 12 = 132 $ .Следовательно решений в целых числах это уравнение не имеет.

Рассмотрим второе равенство:

$$ \frac{3n}{a^2- 3n} = \frac{4a}{2n+1}$$

Равенство возможно только когда

$$ 3n= 4a $$

$$ a^2-3n = 2n +1 $$

Или

$$ 3n= 4a $$

$$ a^2-5n -1 = 0 $$

Из первого уравнения получаем

$$n =4/3a$$

. Подставляем во второе и получаем квадратное уравнение:

$$ 3a^2 - 20 a - 3 =0$$

Его дискриминант равен $D = (20)^2 + 6^2 = 436 $ Это число не является квадратом целого числа,поскольку $21^2 =441$
Следовательно и второе равенство дробей решений в целых числах не имеет.

Рассмотрим третье равенство:

$$ \frac{n}{a} =\frac{4(a^2- 3n)}{3(2n+1)} $$

Равенство возможно только когда

$$ n= 4a^2 - 12n $$

$$ a = 6n +3 $$

Или

$$13n= 4a^2 $$

$$ a = 6n +3 $$

Из первого уравнения получаем

$$n =4/13a^2$$

. Подставляем во второе и получаем квадратное уравнение:

$$ 24a^2 - 13 a + 39 =0$$

Его дискриминант равен $D = (13)^2 - 4(24)(39) = (169- 3744) <0 $ Следовательно и третье равенство дробей решений в целых числах не имеет.
Следовательно, все три равенства дробей в которые превращается равенство (4) не имеют решений в целых числах.Значит и само равенство (4) решений в целых числах не имеет.А это значит,что решений в целых числах не имеет и равенство (3) из которого было получено равенство (4) и которое является выражением частного случая ВТФ: разность соседних кубов.
Получается,что равенство (1) в частном случае-разности соседних кубов,легко может быть свёрнуто в равенство дробей с противоположным поведением их числителей и знаменателей.Это свойство равенства (1) дало нам возможность просто показать расчётным путём ,что решений в целых числах в этом частном случае равенство (1) не имеет. Тем самым доказать частный случай ВТФ: разность соседних кубов.
Попробуем,применить этот же алгоритм для доказательства другого частного случая ВТФ: суммы соседних кубов.
Продолжение следует.

[shwedka]

PhisicBGA в сообщении #1111648 писал(а):

А это значит ,что равенство дробей во всех этих трёх равенствах возможно лишь в единственном случае,когда равны их числители и знаменатели

Это утверждение Вы не можете доказать.
Почему не может быть, что левая дробь получается сокращением правой на 1234567?

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Как Вы получили равенство (3)?

[PhisicBGA]

shwedka писал(а):

Почему не может быть, что левая дробь получается сокращением правой на 1234567?

Уважаемая shwedka !Я правильно понял вопрос: Почему не может быть справедливым равенство,например,
такое:

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{k(2n+1)} $$

,где $k$ - какое либо целое число? Если правильно,то давайте превратим это равенство дробей обратно в равенство (4).Получим

$$3nk(2n+1)= 4a(a^2 - 3n) . (4)$$

Продолжим откручивать назад и в результате получим:

$$3(c-a)[2ck+(4a-2ak)+k]= 4a^3 . (3)$$

при нашем исходном

$$3(c-a)(2c+2a+1)= 4 a^3 .(3)$$

Или

$$3(<2c>-<2a>)=4a^3 .(3)$$

Это возможно только при $k=1$

-- 03.04.2016, 20:46 --

vasili писал(а):

Как Вы получили равенство (3)?

Уважаемый vasili!Уточните пожалуйста- какой момент в моём изложении получения равенства (3) Вам не понятен?

[shwedka]

PhisicBGA в сообщении #1111881 писал(а):

!Я правильно понял вопрос: Почему не может быть справедливым равенство,например,
такое:

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{k(2n+1)} $$

нет, неправильно.

Почему не может быть справедливым

$3n=1234567(a^2-3n)$,
$4a=1234567(2n+1)$,

или
$1234567(3n)=(a^2-3n),$
$1234567(4a)=(2n+1)$
так, что, по-прежнему

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{(2n+1)} $$

?

[lasta]

PhisicBGA в сообщении #1111881 писал(а):

Почему не может быть справедливым равенство,например,
такое:

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{k(2n+1)} $$

Уважаемый PhisicBGA! Зачем Вы делите числитель на $k$, если вопрос поставлен о взаимной простате числителя и знаменателя правой части?

[PhisicBGA]

lasta писал(а):

вопрос поставлен о взаимной простате числителя и знаменателя правой части

Уважаемая shwedka и уважаемый lasta !Как Вы можете увидеть из контекста доказательства,эти дроби получаются из уравнения (4) и и служат для нахождения решений этого уравнения.Поэтому беспощадная борьба с общими множителями правой и левой части этого уравнения ведётся ещё до создания этих дробей.И уверяю Вас,что ни один,даже самый хитрый общий множитель,не сможет проскочить и будет безжалостно уничтожен.И вот только тогда,когда правая и левая части уравнения (4) приобретут исключительную самобытность,мы и создаём эти дроби.Конечно же об этом я должен был сказать ещё раньше,в самом доказательстве. Признаю это упущение и спасибо Вам за акцентирование этого момента.

[shwedka]

PhisicBGA в сообщении #1112143 писал(а):

.И вот только тогда,когда правая и левая части уравнения (4) приобретут исключительную самобытность,мы и создаём эти дроби.Конечно же об этом я должен был сказать ещё раньше,в самом доказательстве. Признаю это упущение и спасибо Вам за акцентирование этого момента.

Все это беллетристика. Доказательство утверждения

PhisicBGA в сообщении #1111648 писал(а):

Начнём с первого равенства :

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{2n+1} $$

Равенство возможно только когда

$$ 3n= a^2 - 3n $$

$$ 4a = 2n +1 $$

Отсутствует по-прежнему.
Для конкретного разговора, начните с самого начала и со всей самобытностью доведите до доказательства этого утверждения. В части подчеркнутого ТОЛЬКО Дальше пока не надо.

[PhisicBGA]

shwedka писал(а):

Все это беллетристика

Я совершенно не понимаю:почему мне отказывают в законном праве сократить все общие множители ещё на стадии уравнения (4),но даже в таких дико-дискриминационных условиях смотрите,что получается:
Начнём с первого равенства :

$$ \frac{3n}{4a} =\frac{a^2- 3n}{2n+1} $$

Равенство возможно только когда

$$ 3n= k(a^2 - 3n) $$

$$ 4a = k(2n +1) $$

где $k$-целое число.
Или

$$ 3n(k+1)= ka^2 $$

$$ n=(4a-k)/2k $$

Подставим значение $n$ из второго равенства в первое и получим:

$$ 2k^2a^2-12(k+1)+3k(k+1) =0 $$

Его дискриминант равен $D = 12^2(k+1)^2 - 4(6)k^3(k+1) = 24(k+1)[6(k+1)- k^3] $
Рассмотрим его значения при различных $k$:
1.Пусть $k=1$

$$D = 48(12-1)=3(4)^2(11) $$

Целых решений нет.
2.Пусть $k=2$

$$D = 72(18-8)=5(12)^2 $$

Целых решений нет.
3.Пусть $k=3$

$$D = 96(24-27)<0 $$

Целых решений нет.
Очевидно ,что дальше - так же: целых решений нет.
Следовательно решений в целых числах и такое "косматое" равенство дробей не имеет.

[shwedka]

не самый общий случай рассмотрен.

Цитата:

Равенство возможно только когда

$$ 3n= k(a^2 - 3n) $$

$$ 4a = k(2n +1) $$

где $k$-целое число

.
Утверждение не доказано в части 'только'.


Жду доказательства,
что невозможно

$$ 3nm= k(a^2 - 3n) $$

$$ 4a m= k(2n +1) $$

где $k,m$-целые числа.