Именно,
m_kristy.
Теперь я отвечу на заданный Вами вопрос.
Вот, допустим, я села и начала перебирать множество всех множеств и считать их мощности. Может ли мне однажды повезти и я наткнусь на множество с "промежуточной" мощностью?
Множества всех множеств, как уже было указано другим участником, не существует. Знаете, почему? Давным-давно, когда деревья были большими, теория множеств была совсем молода и аксиом для нее пока не придумали, создатель теории множеств Г. Кантор придумал понятие мощности. Из определения этого понятия следует, что, если
, то мощность
не больше мощности
. Ну правда же? А вот потом была доказана очень и очень интересная теорема: если
- множество и
- множество всех подмножеств
(кратко говорят, что
-
булеан множества
), то мощность
строго больше мощности
.
Что ж тогда получается, если
множество всех множеств? С одной стороны, по теореме должно быть, что
мощнее
. С другой стороны, по определению,
множество
всех множеств, в том числе всех тех, что являются элементами
, т.е.
. Поэтому должно быть, что мощность
не больше мощности
. Не больше и одновременно больше. Это караул. Это противоречие.
Об это противоречие математики здорово стукнулись лбом. Кантор к тому времени уже привык использовать множество всех множеств в хвост и в гриву (удобное же, как казалось, понятие!), а Фреге написал целый двухтомник, где все строилось на этом понятии. И вдруг оказалось, что оно столь же противоречиво, как "пятиугольный треугольник" или "нечетное число, делящееся на два". Значит, все доказанные с его помощью теоремы нужно было или передоказать без его помощи, или выкинуть на помойку. Но это еще полбеды. Беда в другом: как гарантировать, что в новых доказательствах не будет другого противоречивого понятия?
И тогда математики почесали в затылке и решили:
давайте договоримся, какие множества точно бывают, и будем использовать только такие множества. Вот эти договоренности, какие множества
точно бывают, и есть аксиомы Цермело-Френкеля. Аксиома первая: существует пустое множество. Аксиома вторая: для любых двух множеств существует их объединение. И так далее.
Поэтому, если Вы, милая
m_kristy, захотите "перебирать все множества" в качестве развлечения долгими зимними вечерами, Вам сначала придется решить, является ли придуманная Вами "совокупность чего-нибудь" множеством, существует ли такое множество. Иначе Вы рискуете придумать что-нибудь вроде множества все множеств или того брадобрея, который бреет всех, кроме тех, кто бреется самостоятельно. То есть придумать что-нибудь противоречивое. А если в качестве инструментов придумывания Вы возьмете только аксиомы ZFC ("возьмем объединение, возьмем пересечение, возьмем декартово произведение"), то, как доказано Коэном, Вы никогда не получите множество промежуточной мощности.
Я удовлетворительно ответил на Ваш вопрос?