Точные последовательности

[ikozyrev]

Друзья, помогите разобраться. Я новичок в теории категорий и столкнулся с темой "Точные последовательности". Не могу понять, почему в трехчленной точной последовательности групп $\{1\} \to G \to \{1\}$, $G - является тривиальной? К примеру, почему $G не может быть $\{1,-1\}$ ? Тогда $\{1\}$ может суръекивно отображаться на $G=\{1,-1\}$ и иметь $G своим полным образом, при этом $G может отображаться на $\{1\} инъективно и быть для $\{1\} ядром, что совпадает с определением точной последовательности? Где я тут не прав?

[Xaositect]

ikozyrev в сообщении #1110851 писал(а):

Тогда {1} может суръекивно отображаться на G={1,-1} и иметь G своим полным образом

Как?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

ikozyrev, при любом отображении конечного множества число элементов в образе этого множества не может быть больше числа элементов в самом множестве.

[ikozyrev]

Xaositect, спасибо, с этим разобрался :) А почему морфизм инъективен, если его ядро тривиально?

[Brukvalub]

ikozyrev в сообщении #1110866 писал(а):

А почему морфизм инъективен, если его ядро тривиально?

Потому что это тривиальное упражнение, которое каждый должен решить самостоятельно.

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1110869 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1110866 писал(а):

А почему морфизм инъективен, если его ядро тривиально?

Потому что это тривиальное упражнение, которое каждый должен решить самостоятельно.

Не хватает пока опыта. Подскажите?

[Xaositect]

Ну напишите определения ядра и инъекции: что дано, что требуется доказать.

[ikozyrev]

Пусть $G \to $G' - произвольный морфизм $f и $e - его тривиальное ядро: $f(e)=$e'
Тогда необходимо доказать, что \forall $x, $y \in $G$\mid$ $f(x)=$f(y) \Rightarrow $x=$y

Если бы мы говорили про гомоморфизм, то доказательство тривиально, но для произвольных морфизмов я не могу придумать хода доказательства....

Или в категории групп любые морфизмы являются гомоморфизмами?

[Brukvalub]

Да, "в категории групп любые морфизмы являются гомоморфизмами".

[ikozyrev]

Спасибо! Тогда в принципе с точными цепочками групп разобрался...