Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[krestovski]

Смотрите что получается.

Вы рассматриваете соседние кубы и пытаетесь получить зависимость, которая распространяется на любую пару соседних кубов.
Но так уж вышло, что вы пришли к соотношению трёх последовательных кубов. И это только единичный случай. Другой такой тройки кубов не существует.
Я говорил, что вы слишком увлекаетесь подстановками и переобозначениями переменных.
Давайте обратимся к вашему соотношению, равному 4.

PhisicBGA в сообщении #1107101 писал(а):

Однако справедливо и следующее равенство

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

При $c=1$ оно включает в себя три последовательных куба с основаниями: $c=1$, $(c+1)=2$, $(2c+1)=3$.
Вроде бы проблемы пока нет. Но если мы примем $c=2$, то в вашем соотношении будут уже участвовать три куба с основаниями $c=2$, $(c+1)=3$, $(2c+1)=5$, которые не являются последовательными. Во всех остальных случаях получим аналогичные результаты, где в числителе будет куб большего числа за вычетом его основания, а в знаменателе сумма двух меньших последовательных кубов за вычетом основания большего куба из числителя.
Так вот, это соотношение, равное $4$, вы рассматриваете как константу $B$, которая якобы накладывает какие-то запреты на суммы и разности соседних кубов.
А как по мне, так это общее правило (ну или зависимость, закономерность - как вам больше нравится) соотношения трёх кубов, два из которых последовательные, а основание третьего равно сумме оснований двух меньших кубов.
Вот смотрите, - есть тройки чисел, в которых первые два числа последовательные, $Y-X=1$, а третье равно их сумме: $(1, 2, 3), (2, 3, 5), (3, 4, 7), (4, 5, 9), (5, 6, 11)… , …(X, Y, (X+Y))$.
Произведение чисел в каждой тройке даёт следующие результаты: $6, 30, 84, 180, 330…$.
И если теперь мы умножим каждый результат на $4$, то получим пары чисел: $(24, 6), (120, 30), (336, 84), (720, 180), (1320, 330)…$, которые соотносятся с тройками чисел следующим образом:

Пусть $X=4, Y=5, (X+Y)=9$.

$720= (X+Y)^3 -(X+Y)=(4+5)^3-(4+5)=729-9$, - здесь куб суммы минус основание,

$180= (X^3+Y^3)-(X+Y)= 4^3+5^3-(4+5)=64+125-9=189-9$, а тут сумма кубов минус основания,

ну и их соотношение равно $720/180=4$.

И вот практически ваше равенство в переменных:

$((X+Y)^3 -(X+Y)) / (X^3 +Y^3-(X+Y)) = 4$, где $Y-X=1$.

И это уже равенство общего вида, с которым теперь можно "играться" подстановками и переобозначениями не опасаясь запутаться.
Это если кратко по значимым моментам и соотношениям для этого случая, а ведь есть последовательные чётные, последовательные нечётные.
И таких зависимостей много. Ранее я показал как представляется куб числа в виде среднего арифметического двух его соседних кубов. А есть, например, формула представления куба как среднего арифметического двух равноудалённых от него кубов.
Но к чему я это вам всё пишу.
Вы пытаетесь вслепую что-то определять. Но изначально даже не можете сформулировать, - что и как вы собираетесь получить. А всё по той причине, что действуете методом «втыка», вместо того, чтобы сначала разобраться в самой «кухне» хотя бы кубов и только потом анализировать равенство Ферма только лишь при $n=3$.

С уважением и пожеланием удачи.

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Так вот, это соотношение, равное $4$, вы рассматриваете как константу $B$, которая якобы накладывает какие-то запреты на суммы и разности соседних кубов.
А как по мне, так это общее правило (ну или зависимость, закономерность - как вам больше нравится) соотношения трёх кубов, два из которых последовательные, а основание третьего равно сумме оснований двух меньших кубов.

Уважаемый krestovski !Благодарю Вас за подробный анализ.Практически Вы подтвердили справедливость этого соотношения,которое я назвал константой $B$.Давайте назовём его как Вы предлагаете-правило соотношения трёх кубов.

krestovski писал(а):

И вот практически ваше равенство в переменных:

$((X+Y)^3 -(X+Y)) / (X^3 +Y^3-(X+Y)) = 4$, где $Y-X=1$.
И это уже равенство общего вида, с которым теперь можно "играться" подстановками и переобозначениями не опасаясь запутаться.

Давайте возьмём за основу это равенство общего вида и "поиграемся" с ним.Поскольку $Y-X=1$,то
$Y=X+1$.Подставим и получим:

$$ \frac{(2X+1)^3- (2X+1)}{(X)^3+(X+1)^3 - (2X+1) } =4 $$

$$ \frac{(2X)^3+[(2X+1)^3 -(2X)^3]- (2X+1)}{(X)^3+(X+1)^3 - (2X+1) } =4 $$

$$ 8(X)^3+[(2X+1)^3 -(2X)^3]- (2X+1)=4(X)^3+4(X+1)^3 - 4(2X+1) $$

$$ [(2X+1)^3 -(2X)^3]- (2X+1)=4(X+1)^3-4(X)^3 - 4(2X+1) $$

$$ \frac{[(2X+1)^3 -(2X)^3]- (2X+1)}{(X+1)^3 -(X)^3- (2X+1) } =4 $$

В общем виде имеем:

$$ \frac{[(X+Y)^3 -(X+Y-1)^3]- (X+Y)}{[(Y)^3 -(X)^3] - (X+Y) } =4 $$

,где $Y-X=1$.
Мы получили второе соотношение равное 4,которое связывает уже разность тех двух последовательных кубов с разностью третьего куба,основание которого равно сумме этих двух кубов,со своим соседним кубом.Думаю,что справедливость этого соотношения не вызывает сомнений.Назовём его аналогично-правило соотношения разностей четырёх кубов.Как видите я стойко держусь Ваших правил,совершенно "не опасаясь запутаться".Ладно,это-лирика.Продолжим.
Таким образом,мы имеем целых два соотношения в которых "завязаны"интересующие нас сума и разность соседних кубов:

$$ \frac{(X+Y)^3 - (X+Y)}{[(Y)^3 +(X)^3] - (X+Y) } =4 $$

,где $Y-X=1$.

$$ \frac{[(X+Y)^3 -(X+Y-1)^3]- (X+Y)}{[(Y)^3 -(X)^3] - (X+Y) } =4 $$

,где $Y-X=1$.
Снова даю Вашу цитату.

krestovski писал(а):

Равенство Ферма содержит три переменных. – Подразумеваем кубическое равенство в натуральных числах: $x^3+y^3=z^3$.
По условию $x+1=y$. Понятно, что $x<y<z$ и $x^3<y^3<z^3$ .
Но для анализа кубического равенства у нас недостаточно начальной информации.
Вот смотрите. – Мы располагаем двумя соседними кубами $x^3$ и $y^3$. И мы имеем возможность представить эту сумму в одной переменной. - Сделать подстановку и рассмотреть два варианта:

1. Когда меньший куб нечётный.
2. Когда меньший куб чётный.

Всё. Вариантов больше нет. Этого явно недостаточно. – В обоих случаях мы оперируем удвоением меньшего куба плюс разность этих кубов. Мы не выходим за границы двух соседних кубов.
Выражусь в привычных вам физических терминах, - это статика, а нам же нужна динамика.
Следовательно, мы должны восполнить данный пробел.

Как видите ,кроме того ,что мы располагаем двумя соседними кубами $x^3$ и $y^3$ и мы имеем возможность представить эту сумму в одной переменной, теперь мы располагаем ещё и двумя совершенно надёжными соотношениями , в которых "завязаны"интересующие нас сума и разность соседних кубов:
Как Вы считаете- этого теперь достаточно,чтобы приступить к доказательству частных случаев ВТФ ?

[krestovski]

Нет, не достаточно.
Так как вы пользуетесь одними и теме же переменными и для случая суммы двух кубов и для случая разности двух кубов, то можно подумать, что есть вариант, когда сумма двух кубов равна разности этих же двух кубов. Действительно, надо как-то переобозначить. Вдруг Вам захочется сравнить разность одной пары с суммой другой пары... - соотношения-то равные...

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Действительно, надо как-то переобозначить

Уважаемый krestovski!Понимаю,что Вы смотрите на полученные равенства с точки зрения соблюдения правил формализма, что является очень важным моментом для математика.Предлагаю посмотреть на них сточки зрения их содержания,что более всего волнует физика.Для удобства я их продублирую уже под номерами:

$$ \frac{(X+Y)^3 - (X+Y)}{[(Y)^3 +(X)^3] - (X+Y) } =4 . (1)$$

,где $Y-X=1$.

$$ \frac{[(X+Y)^3 -(X+Y-1)^3]- (X+Y)}{[(Y)^3 -(X)^3] - (X+Y) } =4 . (2)$$

,где $Y-X=1$.
На содержательную часть полученных равенств (1) и (2) так же можно взглянуть с двух точек зрения.
Назовём первую точку зрения - традиционной.Это когда куб целого числа рассматривают только как произведение трёх одинаковых чисел,которые могут быть простыми или составными, и при доказательстве ВТФ используют равенство
$x^n + y^n = z^n $.
Попробуем сформулировать содержание равенств (1) и (2) с этой точки зрения:
"Наличие равенств (1) и (2) в пространстве кубов целых чисел говорит о том,что значения суммы и разности соседних кубов при конструировании куба,основание которого равно сумме оснований этих соседних кубов, не могут быть произвольными,а должны удовлетворять соотношения (1) и (2)."
Согласитесь,что звучит несколько коряво и туманно. И вообще,наличие куба $(X +Y)^3$ и его единичного
приращения в них кажется непонятным,поскольку их ни как не втиснуть в уравнения $X^n + Y^n = Z^n $.
или $X^n - Y^n = R^n $.

Назовём вторую точку зрения - классической.Она основывается на классической формулировке ВТФ самого Ферма,допускает,что куб целого числа имеет более сложную структуру,чем в традиционном понимании и для доказательства ВТФ рассматривает равенство $ z^n = x^n + y^n $.
Казалось бы,мелочи,нюансы,элементарные перестановки.Но я давно убедился,что в мире целых степеней натуральных чисел такие мелочи приводят к интересным и красивым открытиям.
Сформулируем содержание равенств (1) и (2) с этой точки зрения:
"Наличие равенств (1) и (2) в пространстве кубов целых чисел говорит о том,что значения суммы и разности соседних кубов получающихся при разложении куба,основание которого равно сумме оснований этих соседних кубов и его единичного приращения не могут быть произвольными,а должны удовлетворять соотношения (1) и (2)."
Здесь главным действующим лицом становиться куб -$(X +Y)^3$ и его единичное приращение.
Их всегда можно разложить следующим образом:

$$(X +Y)^3 = X^3 +Y^3 +3XY(X+Y)$$

$$(X +Y)^3 - (X +Y -1)^3 = Y^3 - X^3+ 6[<X+Y> -<X>]$$

Значения суммы и разности соседних кубов выполняют здесь роль тестовых структур,с которыми разложение куба
$(X +Y)^3$ и его единичное приращение либо собирается - когда они удовлетворяют равенствам (1) и (2) ,либо не собирается - когда они не удовлетворяют равенствам (1) и (2) .
Например,кто то говорит,что он сконструировал куб из суммы соседних кубов- Z^3 = X^3 + Y^3.Мы говорим:"Хорошо.Сейчас проверим" Подставляем это Z в равенства (1) и (2) :

$$ \frac{(X+Y)^3 - (X+Y)}{ Z^3 - (X+Y) } =4 . (1)$$

,где $Y-X=1$.

$$ \frac{[(X+Y)^3 -(X+Y-1)^3]- (X+Y)}{[Z^3 -2X^3] - (X+Y) } =4 . (2)$$

,где $Y-X=1$.

Если Z удовлетворяет эти равенства,то мы говорим:"Молодец!Ты круче Ферма!".
Если Z не удовлетворяет эти равенства,то мы говорим:"Извини друг,но Ферма оказался круче".
Ну это лирика-для наглядности,а серьезно- именно эту точку зрения я провожу во всех своих темах и появление этих формул здесь вполне закономерно и логично.Именно это метод я использовал в своём доказательстве частного случая ВТФ - соседние кубы.Как Вы считаете Уважаемый krestovski имеет ли такой подход к доказательству ВТФ право быть серьёзным и законным?

[krestovski]

PhisicBGA в сообщении #1109476 писал(а):

Как Вы считаете Уважаемый krestovski имеет ли такой подход к доказательству ВТФ право быть серьёзным и законным?

А я не знаю. Потому как не понимаю смысла создания таких "тестовых" форм. Тем более, что в соотношении

PhisicBGA в сообщении #1109476 писал(а):

$$ \frac{[(X+Y)^3 -(X+Y-1)^3]- (X+Y)}{[(Y)^3 -(X)^3] - (X+Y) } =4 . (2)$$

,где $Y-X=1$.

у Вас уже даже не три, а четыре куба с разными основаниями.
Я вижу, что это две пары кубов, у которых основания в каждой паре представлены последовательными числами, что эти две пары оснований всегда разнесены на числовой прямой на величину, равную $X$.
И что с того?
Неужели Ваше представление разности двух соседних кубов лучше, проще и понятнее, чем $3XY+1$ ?
Хотя и $3XY+1$ это не комбинаторное, а аналитическое представление разности соседних кубов.
Вот скажите честно, - в результате всех сделанных Вами преобразований для получения этих двух соотношений, Вы что-то новое узнали о кубах? - Хотя это не два соотношения, а две формы одного. - Это примерно так же, как задавать разность соседних чисел для оснований: если $x$ и $x+1$, то разность кубов будет равна $3x^2+3x+1$, а если $x-1$ и $x$ то разность равна $3x^2-3x+1$. - Смотря для чего вам нужна эта разность, - сравнивать меньшую величину с большей, или большую с меньшей.
А Ваши два соотношения... - я пока не понимаю для чего они Вам в таком виде.
Показывайте, считайте дальше. Может Вы рано вопросы задаёте?

[lasta]

PhisicBGA в сообщении #1109476 писал(а):

Для удобства я их продублирую уже под номерами:

$$ \frac{(X+Y)^3 - (X+Y)}{[(Y)^3 +(X)^3] - (X+Y) } =4 . (1)$$

,где $Y-X=1$.

Уважаемый PhisicBGA! Мне тоже не понятно для чего нужны подобные соотношения.Тем более, что их можно создать с любым делителем чисел тройки решения. Почему это 4, а не 8? Разве не удобнее разложить куб на восемь угловых кубов и симметричную сердцевину? Такой технологией можно сделать, что угодно. Например, - $8c_1^3c_2^3+A-A=8c_1^3c_2^3$. Делим на любую группу делителей справа без одного

$$\frac{8c_1^3c_2^3+A-A}{c_1^3c_2^3}=8$$

и получим желаемую 8 или другой выбранный делитель. Но, я не говорю, что такая технология бесполезна. Её использовал Абель при выводе своих формул. Просто в Вашем случае она не выявляет ни каких новых свойств. И об этом говорит Вам постоянно уважаемый krestovski.

[PhisicBGA]

lasta писал(а):

Почему это 4, а не 8? Разве не удобнее разложить куб на восемь угловых кубов и симметричную сердцевину?

krestovski писал(а):

Вот скажите честно, - в результате всех сделанных Вами преобразований для получения этих двух соотношений, Вы что-то новое узнали о кубах? -

Уважаемый krestovski и уважаемый lasta !Спасибо Вам за Ваши развёрнутые ответы.Особое спасибо Вам,уважаемый krestovski .за этот вопрос.Это - главный вопрос,который сразу,как лакмусовая бумага,выявляет цену сути всех заявлений и творений.Хорошо бы ,если бы каждый сам себе почаще задавал подобный вопрос.Хотя, Великая теорема Ферма-явление уникальное.Она не только имеет большое значение в науке,как катализатор новых идей,но и давно приобрела большое социальное значение:благодаря простоте и красоте свое формулировки она,как Храм,куда на равных приходят и академик и зубной техник,чтобы прикоснуться к великому и вечному,почувствовать себя приобщенным к творчеству великих умов человечества.Просто они часто путают свои личные победы и достижения с действительно таковыми,и спешат вынести их на всеобщее обсуждение.
Теперь по сути...Честно,так честно...На этом форуме,кроме основной задачи,у меня была ещё и сверх задача: выяснить вопрос - насколько уникальна сделанная мной расшифровка внутренней структуры кубов.Я получил явный вид того ,что скрывает в себе формула $X^3 =(X-1)X(X+1) +X $.В каждом сообщении я твердил о внутренней структуре кубов, "мозолил" глаза этой формулой,что бы узнать - знает ли кто нибудь её расшифровку.Привёл явную подсказку - выражение $(2a +1)a(a+1)$,шестая часть которого давно известна в математике и имеет своё название.Акцентировал внимание на на коэффициенте 4, роль которого была бы сразу понятна,знающим явный вид внутренней структуры куба.Теперь я убедился,что это действительно никому не известное ,уникальное знание и хотел бы впервые представить формулы явного вида внутренней структуры кубов здесь на этом форуме.Уверен,что впереди у них долгая и счастливая жизнь в математике.Вот они:

$$X^3= (2a+1)^3 = 6[2^2 +4^2 +6^2+8^2 +.......+ (2a)^2] +(2a+1)$$

,где $a$-целое число

$$Y^3= (2a)^3 = 6[1+3^2 +5^2 +7^2+9^2 +.......+ (2a -1)^2] +(2a)$$

,где $a$-целое число.
Согласитесь - красивые формулы.Теперь Вы видите откуда берется 4 в разложении нечётных кубов и,что никакая 8 или другое чётное число там быть не может.
Теперь попробуем сложить эти два куба:

$$X^3+Y^3 = (2a +1)^3+(2a)^3 = 6[1+2^2+3^2+4^2+5^2+......+(2a-1)^2+(2a)^2 ]+(4a+1)$$

Получается вот такая красота.Два куба вошли друг в друга,как разъём типа ""папа-мама"",обеспечив самое надёжное соединение ,как в технике ,так и в жизни.Однако, куб из этой структуры ,по моему, создать не возможно,т.к.
невозможно обеспечить одновременно кратность 4 и строгую последовательность в новой структуре,необходимой ,как мы видим , для получения нового куба нечётного числа.Аналогично,по всем остальным вариантам.Просто в этих случаях "гребёнки разъёмов"будут разной величины и останутся свободные "ячёйки".Например,сложим два куба $7^3$ и $12^3$ и получим:

$$7^3 + 12^3 = 6[1+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2+11^2]+19 $$

Как Вы понимаете это тезисные наброски крупными штрихами моего видения роли этих формул в доказательстве ВТФ.
Теперь эти формулы принадлежат всем.Давайте разбираться вместе.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1110471 писал(а):

Однако, куб из этой структуры ,по моему, создать не возможно,..

Напрасно тратите время - "с этой хохмой в Одессе не прокатит"..

[krestovski]

PhisicBGA в сообщении #1110471 писал(а):

$$X^3+Y^3 = (2a +1)^3+(2a)^3 = 6[1+2^2+3^2+4^2+5^2+......+(2a-1)^2+(2a)^2 ]+(4a+1)$$

Получается вот такая красота

Чему, из этой красоты, равно "целое" $a$, если первые два куба $1^3$ и $2^3$ ?

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Вот если бы Вы рассматривали строгие пары $a$ и $(a+1)$, где меньшее всегда чётное, то можно было бы записать следующее равенство: $(2a)^3+(2a+1)^3=(2c+1)^3$, и тогда вопросов по числовому коэффициенту не было бы.

Признаю,уважаемый krestovski ,я опять оплошал в вопросе чередования чётности.Вы правы - надо рассматривать только строгие пары.Равенство должно быть записано следующим образом:

$$Y^3 + X^3= (2a)^3 + (2a +1)^3= 6[1+2^2+3^2+4^2+5^2+......+(2a-1)^2+(2a)^2 ]+(4a+1)$$

Замечательный пример.Думаю,что теперь запомню надолго.Спасибо.

[krestovski]

Только $a$ определите правильно. У вас первое значение $a=0$. Пусть переменная $a$ задана целыми числами, тогда $X$ и $Y$ натуральные. - Тут вопросов нет. Но тогда первая пара содержит куб нуля и куб единицы. - А с этим надо быть поосторожнее. Есть куб нуля - есть извлечение основания - есть деление на ноль... Да и ноль как-то не принято относить к натуральным... К тому же и ряд кубов под квадратными скобками не содержит куб нуля... - Получается, что в вашем равенстве вроде бы он есть и одновременно его нет.
Поправьте, если я не правильно понял.
А если я всё правильно понял, то возвращаемся на прежние позиции. Помните? - Поосторожнее и повнимательнее с числовыми коэффициентами при переменных. - Потому что предыдущим постом вы даже куб единицы исключили в одной части, а оставили в другой части равенства. Внимательно посмотрите.

[lasta]

PhisicBGA в сообщении #1110471 писал(а):

.Вот они:

$$X^3= (2a+1)^3 = 6[2^2 +4^2 +6^2+8^2 +.......+ (2a)^2] +(2a+1)$$

,где $a$-целое число

$$Y^3= (2a)^3 = 6[1+3^2 +5^2 +7^2+9^2 +.......+ (2a -1)^2] +(2a)$$

,где $a$-целое число.
Согласитесь - красивые формулы.Теперь Вы видите откуда берется 4 в разложении нечётных кубов и,что никакая 8 или другое чётное число там быть не может.

Уважаемый PhisicBGA, а это не разложение? По Вашей же формуле,-

$$X^3-(2a+1)= (2a+1)^3 -(2a-1)= 3\cdot 8[1 +2^2 +3^2+4^2 +.......+ a^2]$$

[vasili]

Продолжая начатое уважаемым Lasta.

$$(2a + 1)^3-(2a + 1) = (2a + 1)[(2a + 1)^2-1] =(2a + 1)(4a^2 + 4a + 1-1) = = (2a +1)(4a^2 +4a) =(2a +1)(4a)(a + 1) ==4a(a +1)(2a + 1)$$

.
Но
$\frac{a(a +1)(2a +1)}{6} = 1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 +.....+a^2$, тогда

$(2a + 1)^3-(2a + 1) = 24(1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 +.....+a^2)$.

[PhisicBGA]

lasta писал(а):

Уважаемый PhisicBGA, а это не разложение? По Вашей же формуле,-

$$X^3-(2a+1)= (2a+1)^3 -(2a-1)= 3\cdot 8[1 +2^2 +3^2+4^2 +.......+ a^2]$$

vasili писал(а):

Но
$\frac{a(a +1)(2a +1)}{6} = 1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 +.....+a^2$, тогда

$(2a + 1)^3-(2a + 1) = 24(1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 +.....+a^2)$.

Именно так,только всё наоборот-формулу своей константы B я сконструировал из этих формул ( назовём их -формулами квадратичного разложения кубов) и их суммы,основное тело которой и есть увеличенное в 6 раз замечательное многомерное фигурное число о котором я и говорил,как о подсказке - квадратное пирамидальное число
$\frac{a(a +1)(2a +1)}{6} = 1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 +.....+a^2$
Получается ,что основное тело любого нечётного куба состоит из 24 пирамидальных чисел т.е. 6-и пирамид.Извините
за, наверное, смешной популизм,но эта структура нечётного куба мне напоминает картину в Долине царей в Гизе :6-ка -это сфинкс охраняющий комплекс из 6- и пирамид, за внушительной громадой которых,горстка песчинок равная основанию куба. Смешная конечно ассоциация,но вот если расположить все треугольные числа,из которых и состоит сумма в скобках у этих формул,в определённом порядке на 4 боковых плоскостях пирамиды,то разложение нечётных кубов закроет эти плоскости полностью без просветов ,а разложения любых чётных - всегда с недостатком т.е. с пробелом.Вот такие глубины кроются в этих формулах .Но это ещё цветочки..,хотя самые первые, весенние и потому самые дорогие для меня.Давай те разберёмся сначала с ними,а потом - уже и о "ягодках."

-- 31.03.2016, 14:34 --

krestovski писал(а):

Да и ноль как-то не принято относить к натуральным... К тому же и ряд кубов под квадратными скобками не содержит куб нуля... - Получается, что в вашем равенстве вроде бы он есть и одновременно его нет.
Поправьте, если я не правильно понял.
А если я всё правильно понял, то возвращаемся на прежние позиции.

Уважаемый krestovski!Спасибо за подсказки.Я конечно постараюсь осмыслить всё ,что Вы сказали,но я бы хотел
робко напомнить,что я -физик,а не "коренной" математик.Ваши слова ,по моему разумению- уже "высший пилотаж."

[krestovski]

Нет никакого пилотажа... - Вы задали в паре первое меньшее число чётным, а второе нечётное - большее на единицу. А саму единицу как получить для основания куба? Это ведь первое нечётное число. - Её можно получить только в том случае, когда $a=0$. Но тогда у вас какой первый куб получается в первой паре? - Вот я об этом и говорю, что в этом случае ваш ряд кубов начинается с куба нуля. Превая пара у Вас получается $0^3$ и $1^3$.
Если же это не так, то вы потеряли $1^3$. Потому, что, если первое значение $a=1$, то и первая пара кубов у вас получается соответственно $2^3$ и $3^3$, а это значит, что в вашей "...формуле квадратичного разложения кубов...", не может быть ни куба, ни квадрата единицы.
Ну не должно быть так, - там есть, а там нет.