Слова про то, что атом совершает переход с энергией

и при этом излучается фотон с энергией

- это просто приближение.
Давайте посмотрим на это как на механическую задачу распада: была одна частица (возбуждённый атом), стало две частицы (фотон и атом в основном состоянии). Выполняются два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Встанем в систему отсчёта исходной частицы. Имеем:

Поскольку атом имеет массу, намного большую, чем излучённая энергия, то скорость атома будет достаточно мала, в нерелятивистской области, и можно использовать нерелятивистские формулы:

а для фотона

Решая систему, имеем

То есть, точное решение не равно первому приближению

и можно вычислять к нему последовательные поправки, или вычислять точное значение, если хочется.
Роль малого параметра в приближениях играет отношение

Какую оно на самом деле имеет величину? Ведь мы же должны убедиться, что имели право пренебрегать релятивизмом и раскладывать корень в ряд.

для атома водорода ограничено сверху энергией в один ридберг

А масса атома водорода примерно равна массе протона

То есть, поправка порядка

Для более тяжёлых атомов,

может расти пропорционально

для самых больших переходов, но обычно остаётся в пределах порядка

; а

Так что, порядок поправки может упасть ещё в 10-100 раз.
Зная всё это, вы можете вычислить ту же величину, и пользуясь точными релятивистскими формулами. Я думаю, это будет полезное упражнение.