2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 14:18 


08/05/08
600
fronnya в сообщении #1110160 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):
Фантастика на пятом этаже! :D

Что не так?

Вообще все
А отсебятина крышесносная. Что такое точка принадлежащая вектору?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 14:21 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
ET в сообщении #1110165 писал(а):
Вообще все
А отсебятина крышесносная. Что такое точка принадлежащая вектору?

Да да, я уже подумал над этим и понял, что фигня.

-- 29.03.2016, 13:25 --

Простите меня все, кто прочитал этот бред :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 16:21 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
fronnya в сообщении #1110051 писал(а):
Вот определитель матрицы поворота: $|\widehat{a}|=\epsilon_{ijk}\epsilon_{mnp}a_{im}a_{jn}a_{kp}$
Нет конечно! Это сумма, в которую каждый член разложения определителя входит целых 6 раз О_О
Итого получается определитель, на 6 умноженный. Можно, кончено, разделить его на 6 и успокоиться на этом, но лучше (имея в виду дальнейшее) написать формулу попроще, в которой каждый член изначально берётся только один раз, а не шесть.

Если сложно с 3-мерным, то попробуйте 2-мерный: запишите ваше разложение для 2-мерного случая, выпишите все слагаемые явно, убедитесь, что там все члены определителя встречаются дважды (давая в сумме удвоенный определитель) -- а для получения нужного выражения запишите просто определитель как $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ и перепишите его с использованием 2-мерного символа Леви-Чивиты. Подсказка: достаточно одного символа Леви-Чивиты!

(Оффтоп)

Наиболее естественный (кажется) способ доказать ваше тождество насчёт символа Леви-Чивиты -- через объёмы: известно, что объём призмы (параллелепипеда), натянутой на векторы $a, b, c$ равняется (с точностью до знака!) определителю, составленному из компонент этих векторов в некотором (т. е. в любом!) ортонормированном базисе. Теперь если вы переходите от старого базиса к новому поворотом, то этот объём, с одной стороны, равняется определителю, составленному из новых компонент векторов $a, b, c$, а с другой стороны можно этот определитель расписать через символ Леви-Чивиты, а затем новые компоненты в полученном выражении выразить через старые; в результате у вас получится выражение, похожее на определитель из старых компонент, только в нём старые (т. е. обычные) компоненты символа Леви-Чивиты будут поменяны на новые; в то же время это всё должно будет равняться определителю, составленному из старых компонент, который выражается так же, только там ничего уже не поменяно, а используются старые (обычные) компоненты символа Леви-Чивиты. Из равенства этих двух выражений очевидно следует то, что требуется.

Однако это всё правомерно лишь в том случае, если вы готовы использовать концепцию объёма -- объём же наиболее честным образом определяется как многомерный интеграл; тот факт, что определитель, составленный из компонент векторов, равен объёму призмы, натянутой на эти векторы (который, разумеется, никак не меняется от выбора точки зрения, с которой мы намерены рассматривать всю эту ситуацию -- под точкой зрения я имею в виду базис), есть в таком случае следствие формулы замены переменной в многомерном интеграле, которая как-то доказывается.

Необязательно впрочем лезть в интегралы: достаточно проверить равенство элементарным путём, любой из которых сводится в конце концов к чему-то похожему на то, что я предлагаю вам (а вообще гуглите определитель Грама).


fronnya в сообщении #1110051 писал(а):
а? Что значит бывает? У того, что написали Вы- третий ранг.
Простите, пожалуйста! Я вчера не заметил, что у вас есть ещё псевдотензор, кроме $\epsilon_{ijk}$. Тем не менее вот такая ваша формула:
fronnya в сообщении #1110039 писал(а):
Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$
-- в которой $s$, как вы пишете, есть ранг тензора, недоумение у меня вызывает. Мало того, что там у левой и у правой части количество свободных индексов разное (что можно списать на опечатку), так ещё и множитель с $(-1)$ непонятно почему такой. Похоже, придётся вас попросить заодно и определение псевдотензора написать ;)

Теперь о поворотах. Определение поворота вы, пожалуйста, всё-таки напишите нормально (поищите в книжках)... Хотел дальше написать, в чём дело со знаком определителя, но лучше сначала определения от вас дождаться: вы, пока разбираться будете, с некоторой вероятностью сами поймете всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 20:30 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Slav-27 в сообщении #1110195 писал(а):
Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$ -- в которой $s$, как вы пишете, есть ранг тензора, недоумение у меня вызывает. Мало того, что там у левой и у правой части количество свободных индексов разное

Это опечатка, я имел в виду $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}...a_{kp}T_{lm...p}$. И при инверсии осей компоненты псевдотензора приобретают множитель $(-1)^{s+1}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group