Вот определитель матрицы поворота:
Нет конечно! Это сумма, в которую каждый член разложения определителя входит целых 6 раз О_О
Итого получается определитель, на 6 умноженный. Можно, кончено, разделить его на 6 и успокоиться на этом, но лучше (имея в виду дальнейшее) написать формулу попроще, в которой каждый член изначально берётся только один раз, а не шесть.
Если сложно с 3-мерным, то попробуйте 2-мерный: запишите ваше разложение для 2-мерного случая, выпишите все слагаемые явно, убедитесь, что там все члены определителя встречаются дважды (давая в сумме удвоенный определитель) -- а для получения нужного выражения запишите просто определитель как
и перепишите его с использованием 2-мерного символа Леви-Чивиты. Подсказка: достаточно одного символа Леви-Чивиты!
(Оффтоп)
Наиболее естественный (кажется) способ доказать ваше тождество насчёт символа Леви-Чивиты -- через объёмы: известно, что объём призмы (параллелепипеда), натянутой на векторы
равняется (с точностью до знака!) определителю, составленному из компонент этих векторов
в некотором (т. е. в любом!)
ортонормированном базисе. Теперь если вы переходите от старого базиса к новому поворотом, то этот объём, с одной стороны, равняется определителю, составленному из
новых компонент векторов
, а с другой стороны можно этот определитель расписать через символ Леви-Чивиты, а затем новые компоненты в полученном выражении выразить через старые; в результате у вас получится выражение, похожее на определитель из
старых компонент, только в нём старые (т. е. обычные) компоненты символа Леви-Чивиты будут поменяны на новые; в то же время это всё должно будет равняться определителю, составленному из
старых компонент, который выражается так же, только там ничего уже не поменяно, а используются старые (обычные) компоненты символа Леви-Чивиты. Из равенства этих двух выражений очевидно следует то, что требуется.
Однако это всё правомерно лишь в том случае, если вы готовы использовать концепцию
объёма --
объём же наиболее честным образом определяется как многомерный интеграл; тот факт, что определитель, составленный из компонент векторов, равен
объёму призмы, натянутой на эти векторы (который, разумеется, никак не меняется от выбора точки зрения, с которой мы намерены рассматривать всю эту ситуацию -- под точкой зрения я имею в виду базис), есть в таком случае следствие
формулы замены переменной в многомерном интеграле, которая как-то доказывается.
Необязательно впрочем лезть в интегралы: достаточно проверить равенство элементарным путём, любой из которых сводится в конце концов к чему-то похожему на то, что я предлагаю вам (а вообще гуглите
определитель Грама).
а? Что значит бывает? У того, что написали Вы- третий ранг.
Простите, пожалуйста! Я вчера не заметил, что у вас есть ещё псевдотензор, кроме
. Тем не менее вот такая ваша формула:
Вот, что получилось
-- в которой
, как вы пишете, есть ранг тензора, недоумение у меня вызывает. Мало того, что там у левой и у правой части количество свободных индексов разное (что можно списать на опечатку), так ещё и множитель с
непонятно почему такой. Похоже, придётся вас попросить заодно и определение псевдотензора написать ;)
Теперь о поворотах. Определение поворота вы, пожалуйста, всё-таки напишите нормально (поищите в книжках)... Хотел дальше написать, в чём дело со знаком определителя, но лучше сначала определения от вас дождаться: вы, пока разбираться будете, с некоторой вероятностью сами поймете всё.