2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 21:18 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
rightways в сообщении #1109135 писал(а):
Напомнило неравенство

Ваше неравенство сложнее :-) по крайней мере, лобовой анализ экстремальности, как в исходной задаче, не помогает. Зато, помогает замена четверки на $(a+b+c+d)$ в нужном месте, и тогда уже понятно, что максимум правой части достигается при $a=b=c=d=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 23:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1896
Tel-aviv
rightways в сообщении #1109135 писал(а):
А если сперва доказать, что
$$2(ab+bc+cd+bd+ac+da)^3\ge 27abcd(a+b+c+d)^2$$

Оно следует из двух следующих неравенств.
$4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2\geq9(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)$ и $3(abc+abd+acd+bcd)^2\geq8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)abcd$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение26.03.2016, 05:05 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
Вдобавок к решению, картинка $F(a,b,1,1)$ для красоты; спрятал в офф, чтобы не мешала.

(картинка)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение27.03.2016, 07:28 
Заслуженный участник


26/06/07
1896
Tel-aviv
waxtep в сообщении #1108974 писал(а):
0. Заметим, что неотрицательность $a,b,c,d$ можно заменить положительностью.
1. Введем $u=a+b, v=c+d, x^2 =2ab, y^2=2cd$; необходимо доказать, что наша $F(u,v,x,y) \ge 0$ при $u>x>0, v>y>0$
2. Запишем необходимое условие экстремальности $F$ по $u$ и $v$; выражая из этих двух равенств часть с корнем в знаменателе, получим единственную возможность $u=v$; в силу симметрии задачи это означает $a=b=c=d$, в этом случае, $F=0$.
3. То, что это минимум, легко понять взяв огромное $a$ и "обычные" $b,c,d$: слева $a^2$, а справа только $a^{3/2}$.

1. Вы наверняка имеете в виду $2u=a+b$, $2v=c+d$, $x^2=ab$ и $y^2=cd$.
2. Здесь всё верно.
3. Здесь, по-моему, ошибка. Почему критическая точка, которую Вы нашли, она точка минимума?
Ведь это может быть и точка максимума и седловая точка. По-моему, чтобы завершить Ваше рассуждение, Вам нужно найти все критические точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение27.03.2016, 13:37 


30/03/08
193
St.Peterburg
arqady в сообщении #1108493 писал(а):
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ неотрицательные числа. Докажите, что
$$(a+b+c+d)(ab+ac+bc+ad+bd+cd)\geq12\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd}$$


1. $a \le b \le c \le d$, $q= ab+ac+bc+ad+bd+cd$. Toгда : $ac \le \frac{q}{6}$

2. Пусть : $a+b+c+d =1$, $A= (a+c)(b+d)+bd$

$ac=t  \le \frac{q}{6}  , q=A+t \le \frac{3}{8}$

"Подвигаем" $a$ и $c$ таким образом , что : $a+c - const $

Перепишем неравенство : $$\frac{(A+t)}{\sqrt{(1-2A-2t)t}} \ge 12 \sqrt{bd}$$

Минимум левой части достигается при : $t_*= \frac{A(1-2A)}{1+2A} $

$t \le t_* \Leftrightarrow t \le \frac{q(1-2q)}{2(1-q)}$, выполняется т.к. $t\le \frac {q}{6}$ и $q \le \frac {3}{8}$

3. Поэтому достаточно рассмотреть случай $a=b=c =x , d=1-3x$
$$x(1-2x) \ge 4\sqrt {(3x^2+(1-3x)^2)x^3(1-3x)}$$
$$\Leftrightarrow x^2(1-6x)^2(1-4x)^2 \ge 0$$

Равенство при :
$1. a=b=c=0$

$2. a=b=c=d$

$3. a=b=c =A, d = 3A $

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение27.03.2016, 20:05 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
arqady в сообщении #1109470 писал(а):
По-моему, чтобы завершить Ваше рассуждение, Вам нужно найти все критические точки.

Если не ошибаюсь, здесь критическая точка всего одна (с точностью до однородности неравенства). Можно сразу разделить неравенство, например, на $d$, и при помощи того же рассуждения показать единственность точки экстремума $a/d=b/d=c/d=1$. Получается, вопрос скорее в строгом доказательстве того, что эта единственная критическая точка является минимумом. Я это посчитал очевидным, поскольку функция непрерывна и, на границе области $abcd=0, a+b+c+d>0$, $F>0$, а, в точке экстремума, $F=0$. Но, этого, действительно, недостаточно! Пример: подобным рассуждением можно "доказать", что $x^2+y^2-3xy \ge 0$ при $x, y \ge 0$, что неверно, поскольку в нуле седло. Значит, надо по-честному доказывать положительность гессиана, секундочку :-) спасибо, что указали на ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение27.03.2016, 20:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1896
Tel-aviv
waxtep в сообщении #1109617 писал(а):
Если не ошибаюсь, здесь критическая точка всего одна (с точностью до однородности неравенства).

Посмотрите доказательство Sergic Primazon и Вы убедитесь,что их девять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение27.03.2016, 21:45 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
arqady в сообщении #1109624 писал(а):
Посмотрите доказательство Sergic Primazon и Вы убедитесь,что их девять.

Да, точно. Очень красиво! :-) свое решение снимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение29.03.2016, 05:43 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
Изрядно попотев, довел таки свой топорный вариант до ума; получилось не очень красиво (в финале полином 6-ой степени), поэтому, прячу под кат

(решение)

1. Как и раньше, введем $u=a+b, v=c+d, x^2 =2ab, y^2=2cd$; необходимо доказать, что наша $F(u,v,x,y)=(u+v)(uv+\frac {x^2+y^2} {2})-6xy \sqrt {u^2+v^2-x^2-y^2} \ge 0$ при $u>x>0, v>y>0$
2. Необходимое условие экстремума по $u,v$ действительно дает $u=v$, однако, такой выбор переменных не удовлетворяет необходимым условиям по $x,y$ (уже здесь у меня была ошибка). Таким образом, внутри области, функция не достигает экстремума, и нас интересует только граница области.
3. В новых переменных $u,v,x,y$ на границе принципиально два разных случая:
а. "угловая" $x=u/\sqrt 2, y=v/\sqrt 2$ и
б. "общее положение" $x=u/\sqrt 2$, без ограничений на $y,v$
Случай (а) сводится к задаче с одной переменной и дает единственную критическую точку $u/v=1$, что, в данном расположении, означает $a=b=c=d$.
4. Случай (б) сложнее, в нем наша функция $F(v,y)=(v+2)(2v+1+y^2/2)-6 \sqrt 2 y \sqrt {v^2-y^2+2}$ (подставлены значения $a=b=1$)
5. Здесь мне показалось проще всего возвести в квадрат обе части неравенства по отдельности и заняться анализом новой функции $G(p,s)=p^2s^2-288(s-4p+6)(p^2-s)$, где $p=v+2, s=4p+y^2-6$ (эти противоестественные подстановки максимально, на мой взгляд, упрощали анализируемую функцию).
6. Эту функцию можно взять Лагранжем; в финале получается вот такое:
$t(24t^2+8t-1)^2 = 8(t^2+2)(6t(1-12t)(t^2+2)+(6t+1)(24t^2+8t-1))$, где $t=p/12$
Здесь я наконец сдался и положился на могучие плечи Вольфрама, два действительных корня: $t=1/2$ и $t \approx 0.413839$. Второй корень не проходит, т.к. дает отрицательный $y^2$, а первый - то что надо; отматывая цепочку подстановок назад, получаем для него $c=1, d=3$.
В решении уверен, перепроверял несколько раз; но, конечно, это кошмар :roll:

И картинка $F$ для $b=c, d=1$, показывающая все ее особенности:

(картинка)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение29.03.2016, 06:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1896
Tel-aviv
waxtep в сообщении #1110101 писал(а):
но, конечно, это кошмар

Согласен с Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение30.03.2016, 22:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1896
Tel-aviv
Моё доказательство основывалось сначала на EV методе Vasile Cirtoaje, но оказалось, что наше неравенство легко убивается
с помощью неопределенных множетелей Лагранжа.
Действительно, пусть $a+b+c+d=m=constant$ и $a^2+b^2+c^2+d^2=n=constant$ и мы хотим понять,
когда достигается максимум $abcd$.
Пусть $f(a,b,c,d,\lambda,\mu)=abcd+\lambda(a+b+c+d-m)+\mu(a^2+b^2+c^2+d^2-n)$
Тогда $\frac{\partial f}{\partial a}=bcd+\lambda+2\mu a$ и $\frac{\partial f}{\partial b}=acd+\lambda+2\mu b$ и тогда $(a-b)(cd-2\mu)=0$.
Если только один первый сомножитель равен нулю, то так как случай равенства нулю одной из переменных очевиден, получаем, что все критические точки бывают только двух видов: $a=b=c$ или $a=b$ и $c=d$ и доказательство завершается очевидной проверкой.
Интересно, что согласно EV method достаточно проверить только случай $a=b=c$, что не настолько уж существенно проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение31.03.2016, 01:28 
Аватара пользователя


07/01/16
906
Аязьма
arqady в сообщении #1110617 писал(а):
легко убивается

Ух ты, елки-палки! :D
Здесь можно еще так закончить: поскольку $abcd=-2\mu a^2-\lambda a=$ тому же выражению от $b,c,d$, в критических точках $a,b,c,d$ не могут принимать более двух различных (отличных от нуля) значений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group