2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение22.03.2016, 16:04 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ неотрицательные числа. Докажите, что
$$(a+b+c+d)(ab+ac+bc+ad+bd+cd)\geq12\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение23.03.2016, 16:15 


03/03/12
1380
$a+b+c+d=1$

1). $a\le b\le c\le d\le\frac1 2$

$(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd\le(\frac{1}{16}+\frac1 9+\frac1 4+\frac1 4)\cdot\frac{1}{64}<\frac{1}{16^2}$

Обозначим правую часть (B). Тогда получили, что $B\le\frac3 4$. Докажем, что левая часть $A\ge\frac3 4$.

$ab+ac+cb+d(1-d)\ge\frac3 4$

Здесь всё довольно просто, без проблем, стандартно.

2). $d>\frac1 2$

Здесь простого решения у меня не получается. Можно свести к уравнению пятой степени от двух переменных и применить стандартный метод с производными. Но это ужастик. И не знаю, получится ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение23.03.2016, 21:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1108651 писал(а):
И не знаю, получится ли.

Тогда зачем Вы это всё написали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение23.03.2016, 23:31 


03/03/12
1380
Для первой области неравенство решается легко. Для второй области у меня простого решения не получается. Но, я думаю, что оно имеется у Вас, arqady. Иногда Ваши неравенства остаются нерешёнными. Вот, подбросила дровишек. Может кто осилит это неравенство простым или сложным способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение24.03.2016, 07:49 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1108725 писал(а):
Вот, подбросила дровишек.

Не надо это делать. Если у Вас есть полное решение, так напишите его. В противном случае Вы просто спамите. Прошу Вас, прекратите этим заниматься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение24.03.2016, 08:07 


03/03/12
1380

(Оффтоп)

Я не знала, что частичные решения нельзя выкладывать. Полное решение для первой области у меня есть. Если это спам, то выкладывать его не стоит. За прочий спам прошу извинить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение24.03.2016, 11:25 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #1108752 писал(а):
Я не знала, что частичные решения нельзя выкладывать.

Частичные решения не являются решением задачи. Поэтому это спам.
Спасибо Вам за понимание ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение24.03.2016, 11:39 
Модератор


19/10/15
1196
 !  arqady, замечание за попытки самостоятельной модерации. Форум предназначен для обсуждения задач, предложение методов и частичных решений является обсуждением по теме.

 !  После рассмотрения истории сообщений TR63 замечание снимаю.


-- 24.03.2016, 10:37 --

 !  TR63, у Вас много сообщений в олимпиадном разделе, которые содержат неполные или неверные решения и уводят дискуссию в сторону. Прошу в дальнейшем воздержаться от сообщений в олимпиадном разделе, если у Вас нет полного и хорошо проверенного решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 04:45 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
0. Заметим, что неотрицательность $a,b,c,d$ можно заменить положительностью.
1. Введем $u=a+b, v=c+d, x^2 =2ab, y^2=2cd$; необходимо доказать, что наша $F(u,v,x,y) \ge 0$ при $u>x>0, v>y>0$
2. Запишем необходимое условие экстремальности $F$ по $u$ и $v$; выражая из этих двух равенств часть с корнем в знаменателе, получим единственную возможность $u=v$; в силу симметрии задачи это означает $a=b=c=d$, в этом случае, $F=0$.
3. То, что это минимум, легко понять взяв огромное $a$ и "обычные" $b,c,d$: слева $a^2$, а справа только $a^{3/2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 16:51 


25/08/11

1074
Решение с компьютером.
Используя любимое arqady неравенство Маклорена приводим неравенство к виду
$$
2 (a*b + a*c + a*d + b*c + b*d + c*d)^3 - 
 9 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)*a*b*c*d \ge 0.
$$
И тут МАТЕМАТИКА даёт разложение левой части, где все члены положительны!

\begin{aligned}& 2 a^3 b^3 + 6 a^3 b^2 c + 6 a^2 b^3 c + 6 a^3 b c^2 + \\
 + & 12 a^2 b^2 c^2 + 6 a b^3 c^2 + 2 a^3 c^3 + 6 a^2 b c^3 +\\ 
 + & 6 a b^2 c^3 + 2 b^3 c^3 + 6 a^3 b^2 d + 6 a^2 b^3 d + 3 a^3 b c d + \\
 + & 30 a^2 b^2 c d + 3 a b^3 c d + 6 a^3 c^2 d + 30 a^2 b c^2 d + \\
 + & 30 a b^2 c^2 d + 6 b^3 c^2 d + 6 a^2 c^3 d + 3 a b c^3 d +\\ 
 + & 6 b^2 c^3 d + 6 a^3 b d^2 + 12 a^2 b^2 d^2 + 6 a b^3 d^2 + \\
 + & 6 a^3 c d^2 + 30 a^2 b c d^2 + 30 a b^2 c d^2 + 6 b^3 c d^2 +\\ 
 + & 12 a^2 c^2 d^2 + 30 a b c^2 d^2 + 12 b^2 c^2 d^2 + 6 a c^3 d^2 + \\
 + & 6 b c^3 d^2 + 2 a^3 d^3 + 6 a^2 b d^3 + 6 a b^2 d^3 + 2 b^3 d^3 +\\ 
 + & 6 a^2 c d^3 + 3 a b c d^3 + 6 b^2 c d^3 + 6 a c^2 d^3 + \\
 + & 6 b c^2 d^3 + 2 c^3 d^3\end{aligned}

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 19:20 
Заслуженный участник


03/12/07
344
Украина
sergei1961 в сообщении #1109065 писал(а):
Решение с компьютером.
Используя любимое arqady неравенство Маклорена приводим неравенство к виду
$$2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 -  9 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)abcd \ge 0.$$
Получается неверное неравенство $$(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^3-54(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd \ge 0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 19:38 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Маклорен здесь не может помочь, поскольку равенство достигается не только когда все переменные равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 19:40 


25/08/11

1074
Согласен, я ошибся.
Зато получилось другое неравенство. Наверное, элементарное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 19:49 


24/12/13
351
Напомнило неравенство
$a,b,c,d>0$
$$4\ge abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

при $a+b+c+d=4$

-- 25.03.2016, 22:54 --

А если сперва доказать, что
$$2(ab+bc+cd+bd+ac+da)^3\ge 27abcd(a+b+c+d)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с четырьмя переменными
Сообщение25.03.2016, 21:05 


25/08/11

1074
А потом?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group