Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии

[ProPupil]

Имеется сепарабельное банахово пространство $E$. В сопряжённом пространстве $E^\ast$ выделено линейное подпространство $G \subset E$ такое, что
для некоторого $\eta > 0$ верно условие:

$$\forall x \in X \quad \exists f \in G \quad |\langle f, x \rangle | \geq \eta \|f\|_{E^\ast}\|x\|_E$$

.

Далее, рассматриваем пересечение $G$ с единичиным шаром $B$ в пространстве $E^\ast$ и берём наименьшее слабо $\ast$-замкнутое множество $K$ такое, что $G \subset B \subset K$.

Далее утверждается, что $K$ есть слабо $\ast$-компактное множество. Вот здесь у меня как раз возникли непонятки.

Я знаю, что по теореме Банаха-Алаоглу $B$ - слабо $\ast$-компактное множество. Однако введёное множество является его надмножеством. С другой стороны, K у нас слабо $\ast$-замкнутое, но следует ли из этого утверждение?

[DeBill]

ProPupil
Что-то в Вашей задаче не сходится:

ProPupil в сообщении #1109473 писал(а):

наименьшее слабо $\ast$-замкнутое множество $K$ такое, что $G \subset B \subset K$.

ProPupil в сообщении #1109473 писал(а):

$B$ - слабо $\ast$-компактное множество.

Т.е., $K=B$ ?

[ProPupil]

Виноват, не заметил опечатки: $ G \cap B \subset K$

[DeBill]

ProPupil

ProPupil в сообщении #1109905 писал(а):

опечатки: $ G \cap B \subset K$

То есть, все-таки $K\subset B$.
Что-то мне внутренний голос говорит о том, что замкнутое подмножество компакта - компакт. Почему бы этому не быть и тут?

[demolishka]

DeBill в сообщении #1109910 писал(а):

замкнутое подмножество компакта - компакт

В хаусдорфовом пространстве.

Сужение $\ast$-слабой топологии на единичный шар метризуемо в силу сепарабельности $E.$ В частности, $\ast$-слабая топология на единичном шаре хаусдорфова. Так что все верно.

Только непонятно зачем тут какое-то ограничение на $G.$

[ProPupil]

Ограничение на $G$ используется дальше в доказательстве. Я пытаюсь разобраться в доказательстве теоремы Кадеца, однако с геометрий порой у меня возникают проблемы, поэт.ому и задал вопрос.

[Someone]

demolishka в сообщении #1109915 писал(а):

DeBill в сообщении #1109910 писал(а):

замкнутое подмножество компакта - компакт

В хаусдорфовом пространстве.

В любом.

Хаусдорфовость нужна для обратного утверждения: всякое компактное подмножество замкнуто.