2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение27.03.2016, 08:15 


05/02/13
132
Имеется сепарабельное банахово пространство $E$. В сопряжённом пространстве $E^\ast$ выделено линейное подпространство $G \subset E$ такое, что
для некоторого $\eta > 0$ верно условие:
$$\forall x \in X \quad \exists f \in G \quad |\langle f, x \rangle | \geq \eta \|f\|_{E^\ast}\|x\|_E$$.

Далее, рассматриваем пересечение $G$ с единичиным шаром $B$ в пространстве $E^\ast$ и берём наименьшее слабо $\ast$-замкнутое множество $K$ такое, что $G \subset B \subset K$.

Далее утверждается, что $K$ есть слабо $\ast$-компактное множество. Вот здесь у меня как раз возникли непонятки.

Я знаю, что по теореме Банаха-Алаоглу $B$ - слабо $\ast$-компактное множество. Однако введёное множество является его надмножеством. С другой стороны, K у нас слабо $\ast$-замкнутое, но следует ли из этого утверждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение28.03.2016, 11:04 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ProPupil
Что-то в Вашей задаче не сходится:
ProPupil в сообщении #1109473 писал(а):
наименьшее слабо $\ast$-замкнутое множество $K$ такое, что $G \subset B \subset K$.

ProPupil в сообщении #1109473 писал(а):
$B$ - слабо $\ast$-компактное множество.

Т.е., $K=B$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение28.03.2016, 17:36 


05/02/13
132
Виноват, не заметил опечатки: $ G \cap B \subset K$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение28.03.2016, 17:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ProPupil
ProPupil в сообщении #1109905 писал(а):
опечатки: $ G \cap B \subset K$

То есть, все-таки $K\subset B$.
Что-то мне внутренний голос говорит о том, что замкнутое подмножество компакта - компакт. Почему бы этому не быть и тут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение28.03.2016, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
DeBill в сообщении #1109910 писал(а):
замкнутое подмножество компакта - компакт

В хаусдорфовом пространстве.

Сужение $\ast$-слабой топологии на единичный шар метризуемо в силу сепарабельности $E.$ В частности, $\ast$-слабая топология на единичном шаре хаусдорфова. Так что все верно.

Только непонятно зачем тут какое-то ограничение на $G.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение29.03.2016, 06:26 


05/02/13
132
Ограничение на $G$ используется дальше в доказательстве. Я пытаюсь разобраться в доказательстве теоремы Кадеца, однако с геометрий порой у меня возникают проблемы, поэт.ому и задал вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разобраться в доказательстве в слабой $\ast$-топологии
Сообщение29.03.2016, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
demolishka в сообщении #1109915 писал(а):
DeBill в сообщении #1109910 писал(а):
замкнутое подмножество компакта - компакт

В хаусдорфовом пространстве.
В любом.

Хаусдорфовость нужна для обратного утверждения: всякое компактное подмножество замкнуто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group