Аппроксимация многочленом

[StaticZero]

Добрый вечер. Скажите, пожалуйста, если я по методу наименьших квадратов строю аппроксимацию многочленом степени $n$

$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n $$

по некоторому набору точек $\mathbb R^2$, то существует ли понятие погрешности отдельного коэффициента $a_k$ этой аппроксимации? Спасибо.

[svv]

Если сами координаты точек известны с погрешностью — да. Если координаты известны точно — нет. См. topic95283.html

[B@R5uk]

svv в сообщении #1109211 писал(а):

Если координаты известны точно — нет.

Вот уж не обязательно!

Понятие погрешности идёт в ногу с понятием точного значения. То есть, если вы определились, что считать точным значением коэффициентов, а реальный расчёт (пусть даже по точным исходным значениям) производите приближённым методом, то эти коэффициенты будут иметь погрешность, которую, в принципе, можно оценить.

Например, автор считает, что точными будут те коэффициенты, которые дают полином ближайший к функции по норме пространства C, а расчёт их производит МНК. В этом случае их значения будут не точными. Или например, считает те коэффициенты точными, которые дают минимум МНК, а находит этот минимум численно с конечной точностью. В этом случае коэффициенты снова будут иметь погрешность.

[StaticZero]

Имеется ввиду, что из результатов эксперимента получаются матрица коэффициентов $M$ (с погрешностями эксперимента) и свободный столбец $\mathbf c$, которые определяют столбец коэффициентов многочлена $\mathbf a$ через уравнение

$$ M \mathbf a = \mathbf c. $$

Предполагается, что методы решения абсолютно точны (метод Гаусса, хотя бы). Имея лишь это уравнение, можно ли указать погрешности, или так или иначе придётся выписывать явные формулы?

В сущности, мне нужны лишь коэффициенты $a_1$, $a_2$ в аппроксимации, так как именно они определяют требуемые соотношения. Но я так понимаю, что вытащить погрешности для них, не решая системы целиком, невозможно.

[svv]

Правильно ли я понимаю, что Вы находите аппроксимацию многочленом $n$-й степени, $n>2$, а потом берёте только $a_1, a_2$ (трудный путь)? Потому что это не то же самое, что найти коэффициенты $a_1, a_2$ аппроксимации многочленом 2-й степени (лёгкий путь, но приводящий к иному результату, возможно, более правильному).

Результаты были бы одинаковы, если бы используемые многочлены были ортогональны:
$\sum\limits_{k=1}^n p_i(x_k)p_j(x_k)=0$ при $i\neq j$

[StaticZero]

Цитата:

Степень аппроксимационного многочлена $n$ Вы выбираете самостоятельно. Этот многочлен должен как можно лучше описать расчётную кривую. Для определения необходимых данных, по факту, необходимы лишь два первых члена $a_1$ и $a_2$ (член $a_0$ должен быть очень мал, так как кривая проходит через $(0, 0)$).

Помните, что необходимая кривая в сущности параболой не является, и потому квадратичный многочлен даст коэффициенты с большой ошибкой, а многочлен слишком высокой степени включит систематические ошибки, возникающие из-за неточностей используемой модели данной системы. При изменении степени многочлена погрешности в нужных коэффициентах изменяются некоторым образом; при какой-то степени они минимальны, и потому рекомендуется взять именно такой многочлен.

Вот цитата из методического указания. Во все расчётные формулы вошли погрешности требуемых коэффициентов. Вот я и задаюсь вопросом, придётся ли извращаться с полным решением (в буквах!) системы $5 \times 5$, к примеру, чтобы найти нужные значения.

[svv]

Значит, точная зависимость (по отношению к которой можно было бы оценить погрешность) не присутствует нигде ни в каком виде. И критерий соответствия аппроксимации точной зависимости один: на глазок.

А какая зависимость должна получаться из теоретических соображений?

[StaticZero]

svv в сообщении #1109642 писал(а):

Значит, точная зависимость (по отношению к которой можно было бы оценить погрешность) не присутствует нигде ни в каком виде

Ну, есть измеренные точки $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ с погрешностями. Как я понимаю, "точная" аппроксимация — та, что пойдёт прямо через эти точки. По отношению к ней и оценивать погрешность.

svv в сообщении #1109642 писал(а):

А какая зависимость должна получаться из теоретических соображений?

Не понятно. Там с некоторого места все функции стали рядами по степеням.

[svv]

StaticZero в сообщении #1109654 писал(а):

Как я понимаю, "точная" аппроксимация — та, что пойдёт прямо через эти точки. По отношению к ней и оценивать погрешность.

Нет-нет-нет! Можно легко составить многочлен, который пройдёт через все точки точно, причём без решения СЛАУ, например, по интерполяционной формуле Лагранжа, но ценность такого полинома нулевая. Во-первых, точно через точки проходить не нужно:

Цитата:

многочлен слишком высокой степени включит систематические ошибки, возникающие из-за неточностей используемой модели данной системы

Во-вторых, между точками многочлен высокой степени совершает сильные колебания (беда аппроксимации многочленами высоких степеней) и совсем не похож на «идеальную» зависимость.

[StaticZero]

svv в сообщении #1109659 писал(а):

Нет-нет-нет! Можно легко составить многочлен, который пройдёт через все точки точно, причём без решения СЛАУ, например, по интерполяционной формуле Лагранжа, но ценность такого полинома нулевая. Во-первых, точно через точки проходить не нужно:

Я потому и взял слово в кавычки, но недостаточно, видимо, пояснил. Этот многочлен "точный" в том смысле, что при заданной степени $m$ он аппроксимирует набор точек точно так, как если бы погрешностей в точках не содержалось.

(Оффтоп)

Первичный беглый анализ показал, что многочлен четвёртой степени для точек хорош и в математическом плане (близко проходит), и даже физический смысл величины сохраняет (как сохраняют его многочлены лишь чётных степеней). Скорее всего, будет взят именно он в качестве приближения.

[svv]

Я только приветствую такой выбор. Но я всё-таки не понял: если Вы один и тот же многочлен используете и для аппроксимации, и как эталонный, в чём тогда погрешность?

[StaticZero]

svv в сообщении #1109690 писал(а):

Но я всё-таки не понял: если Вы один и тот же многочлен используете и для аппроксимации, и как эталонный, в чём тогда погрешность?

Беру аппроксимацию для набора точек без погрешности, потом "включаю" погрешности точек и хочу вычислить погрешность коэффициентов, которые возникнут из-за этого.

[svv]

Извините, если туплю... Измеренные значения точек — это у Вас считается с погрешностью или без?

А, увидел выше: с погрешностями. Тогда откуда Вы возьмёте значения без погрешностей? С помощью аппроксимации полиномом 4-й степени? Потом Вы проведёте точно через измеренные точки полином по интерполяционной формуле, найдёте для него $a_1$ и $a_2$ и, сравнив их с $a_1$ и $a_2$ полинома 4-й степени, найдёте погрешность коэффициентов, правильно?

[StaticZero]

svv в сообщении #1109695 писал(а):

Тогда откуда Вы возьмёте значения без погрешностей?

Возможно, я сейчас скажу глупость, но вот если, например, $x_3 = 20 \pm 3$, то я проведу через точку $x_3 = 20$, как будто никакого плюс-минуса нет.

[svv]

Ну, если бы мы знали, что в записи $a\pm b$ число $a$ всегда соответствует точному значению, то никакие $\pm b$ никогда не были бы нужны...