2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аппроксимация многочленом
Сообщение25.03.2016, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Добрый вечер. Скажите, пожалуйста, если я по методу наименьших квадратов строю аппроксимацию многочленом степени $n$
$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n $$
по некоторому набору точек $\mathbb R^2$, то существует ли понятие погрешности отдельного коэффициента $a_k$ этой аппроксимации? Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение26.03.2016, 02:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Если сами координаты точек известны с погрешностью — да. Если координаты известны точно — нет. См. topic95283.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение26.03.2016, 10:18 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
svv в сообщении #1109211 писал(а):
Если координаты известны точно — нет.
Вот уж не обязательно!

Понятие погрешности идёт в ногу с понятием точного значения. То есть, если вы определились, что считать точным значением коэффициентов, а реальный расчёт (пусть даже по точным исходным значениям) производите приближённым методом, то эти коэффициенты будут иметь погрешность, которую, в принципе, можно оценить.

Например, автор считает, что точными будут те коэффициенты, которые дают полином ближайший к функции по норме пространства C, а расчёт их производит МНК. В этом случае их значения будут не точными. Или например, считает те коэффициенты точными, которые дают минимум МНК, а находит этот минимум численно с конечной точностью. В этом случае коэффициенты снова будут иметь погрешность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение26.03.2016, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Имеется ввиду, что из результатов эксперимента получаются матрица коэффициентов $M$ (с погрешностями эксперимента) и свободный столбец $\mathbf c$, которые определяют столбец коэффициентов многочлена $\mathbf a$ через уравнение
$$
M \mathbf a = \mathbf c.
$$

Предполагается, что методы решения абсолютно точны (метод Гаусса, хотя бы). Имея лишь это уравнение, можно ли указать погрешности, или так или иначе придётся выписывать явные формулы?

В сущности, мне нужны лишь коэффициенты $a_1$, $a_2$ в аппроксимации, так как именно они определяют требуемые соотношения. Но я так понимаю, что вытащить погрешности для них, не решая системы целиком, невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение26.03.2016, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Правильно ли я понимаю, что Вы находите аппроксимацию многочленом $n$-й степени, $n>2$, а потом берёте только $a_1, a_2$ (трудный путь)? Потому что это не то же самое, что найти коэффициенты $a_1, a_2$ аппроксимации многочленом 2-й степени (лёгкий путь, но приводящий к иному результату, возможно, более правильному).

Результаты были бы одинаковы, если бы используемые многочлены были ортогональны:
$\sum\limits_{k=1}^n p_i(x_k)p_j(x_k)=0$ при $i\neq j$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Цитата:
Степень аппроксимационного многочлена $n$ Вы выбираете самостоятельно. Этот многочлен должен как можно лучше описать расчётную кривую. Для определения необходимых данных, по факту, необходимы лишь два первых члена $a_1$ и $a_2$ (член $a_0$ должен быть очень мал, так как кривая проходит через $(0, 0)$).

Помните, что необходимая кривая в сущности параболой не является, и потому квадратичный многочлен даст коэффициенты с большой ошибкой, а многочлен слишком высокой степени включит систематические ошибки, возникающие из-за неточностей используемой модели данной системы. При изменении степени многочлена погрешности в нужных коэффициентах изменяются некоторым образом; при какой-то степени они минимальны, и потому рекомендуется взять именно такой многочлен.


Вот цитата из методического указания. Во все расчётные формулы вошли погрешности требуемых коэффициентов. Вот я и задаюсь вопросом, придётся ли извращаться с полным решением (в буквах!) системы $5 \times 5$, к примеру, чтобы найти нужные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Значит, точная зависимость (по отношению к которой можно было бы оценить погрешность) не присутствует нигде ни в каком виде. И критерий соответствия аппроксимации точной зависимости один: на глазок.

А какая зависимость должна получаться из теоретических соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv в сообщении #1109642 писал(а):
Значит, точная зависимость (по отношению к которой можно было бы оценить погрешность) не присутствует нигде ни в каком виде


Ну, есть измеренные точки $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ с погрешностями. Как я понимаю, "точная" аппроксимация — та, что пойдёт прямо через эти точки. По отношению к ней и оценивать погрешность.

svv в сообщении #1109642 писал(а):
А какая зависимость должна получаться из теоретических соображений?


Не понятно. Там с некоторого места все функции стали рядами по степеням.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
StaticZero в сообщении #1109654 писал(а):
Как я понимаю, "точная" аппроксимация — та, что пойдёт прямо через эти точки. По отношению к ней и оценивать погрешность.
Нет-нет-нет! Можно легко составить многочлен, который пройдёт через все точки точно, причём без решения СЛАУ, например, по интерполяционной формуле Лагранжа, но ценность такого полинома нулевая. Во-первых, точно через точки проходить не нужно:
Цитата:
многочлен слишком высокой степени включит систематические ошибки, возникающие из-за неточностей используемой модели данной системы
Во-вторых, между точками многочлен высокой степени совершает сильные колебания (беда аппроксимации многочленами высоких степеней) и совсем не похож на «идеальную» зависимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv в сообщении #1109659 писал(а):
Нет-нет-нет! Можно легко составить многочлен, который пройдёт через все точки точно, причём без решения СЛАУ, например, по интерполяционной формуле Лагранжа, но ценность такого полинома нулевая. Во-первых, точно через точки проходить не нужно:


Я потому и взял слово в кавычки, но недостаточно, видимо, пояснил. Этот многочлен "точный" в том смысле, что при заданной степени $m$ он аппроксимирует набор точек точно так, как если бы погрешностей в точках не содержалось.

(Оффтоп)

Первичный беглый анализ показал, что многочлен четвёртой степени для точек хорош и в математическом плане (близко проходит), и даже физический смысл величины сохраняет (как сохраняют его многочлены лишь чётных степеней). Скорее всего, будет взят именно он в качестве приближения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Я только приветствую такой выбор. Но я всё-таки не понял: если Вы один и тот же многочлен используете и для аппроксимации, и как эталонный, в чём тогда погрешность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv в сообщении #1109690 писал(а):
Но я всё-таки не понял: если Вы один и тот же многочлен используете и для аппроксимации, и как эталонный, в чём тогда погрешность?

Беру аппроксимацию для набора точек без погрешности, потом "включаю" погрешности точек и хочу вычислить погрешность коэффициентов, которые возникнут из-за этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение27.03.2016, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Извините, если туплю... Измеренные значения точек — это у Вас считается с погрешностью или без?

А, увидел выше: с погрешностями. Тогда откуда Вы возьмёте значения без погрешностей? С помощью аппроксимации полиномом 4-й степени? Потом Вы проведёте точно через измеренные точки полином по интерполяционной формуле, найдёте для него $a_1$ и $a_2$ и, сравнив их с $a_1$ и $a_2$ полинома 4-й степени, найдёте погрешность коэффициентов, правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение28.03.2016, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv в сообщении #1109695 писал(а):
Тогда откуда Вы возьмёте значения без погрешностей?



Возможно, я сейчас скажу глупость, но вот если, например, $x_3 = 20 \pm 3$, то я проведу через точку $x_3 = 20$, как будто никакого плюс-минуса нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация многочленом
Сообщение28.03.2016, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Ну, если бы мы знали, что в записи $a\pm b$ число $a$ всегда соответствует точному значению, то никакие $\pm b$ никогда не были бы нужны...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group