Спор о размерности поверхностей

[Gedeon]

Уважаемые коллеги, разрешите представить вашему вниманию необычный спор, состоявшийся на одном из сайтов, и попросить вас вынести свое суждение о правоте сторон. Дело в том, что спор перешел в конфликт с бесплодной руганью, и для меня важно получить заключение независимых квалифицированных наблюдателей.

На сайте www.oper.ru, обычно далеком от математики, была помещена заметка "Новая арифметика" (www.oper.ru/news/read.php?t=1051602870) со ссылкой на сатирический текст, высмеивающий исторические изыскания академика А.Т.Фоменко путем построения пародийной "новой арифметики".

Посетители написали несколько сотен комментариев к заметке, в которых и завязался данный спор. В одном из комментариев была дана ссылка на интервью Фоменко (www.offline.computerra.ru/2008/719/347100/), в котором он говорил о реформе преподавания на мехмате МГУ и своих текущих научных интересах. В интервью им была сказана фраза: "Форма биомолекулы в пространстве задается при помощи ломаной с множеством узлов и ребер. Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности". Эта фраза послужила толчком к обсуждению некоторых понятий геометрии.

Сущность спора состоит в следующем.

Пользователь с ником Supreme Being утверждает: говорить о размерности в отношении поверхностей некорректно. Размерность - это свойство пространства, а поверхность имеет разную размерность в зависимости от того, в каком пространстве ее рассматривать. Например, плоскость в трехмерном пространстве является поверхностью размерности три, потому что она является пространством прямых, которые определяются заданием трех параметров в уравнении прямой Ax + By + C = 0. В другом пространстве она, очевидно, будет иметь другую размерность. Понятие размерности к поверхности применимо только тогда, когда она сама является пространством. (Пространство, разумеется, следует понимать как абстрактное множество с некоторой аксиоматикой.) Вот цитата, в целом выражающая мнение г-на Supreme Being:
1) определение размерности вводится только для пространства, для поверхности - нет,
2) n-мерность в словосочетании "n-мерная поверхность" относится к тому пространству, которое представляет собой поверхность, а не к самой поверхности. Конец цитаты.

Пользователь с ником Gedeon, то есть я, утверждает, что корректное определение размерности поверхности давно существует в математике, и эта размерность не тождественна размерности пространства, в котором поверхность рассматривается. Т.е. существует как понятие размерности пространства, так и понятие размерности поверхности в этом пространстве. Например, плоскость является двумерной поверхностью в трехмерном пространстве, а кривая - одномерной поверхностью (на плоскости или в трехмерном пространстве). Отрицать наличие у поверхности размерности глупо, это признак математической неграмотности. Я привел аналитическое определение M-мерной поверхности в N-мерном пространстве путем введения N-M уравнений-ограничений. Речь шла о конечномерных линейных пространствах. Я указывал также, что существуют и бесконечномерные пространства, изучать которые значительно сложнее.

Пользователь Supreme Being считает, что я несу псевдонаучный бред и отказываюсь вникать в его объяснения.

Подробно ход дискуссии можно посмотреть по комментариям к указанной заметке: 382, 438, 492, 495, 501, 505, 510, 523, 542, 548, 550, 554, 583, 584, 585, 588, 589, 590, 592, 595, 598, 614, 622, 623, 624, 630, 636, 637 и далее до конца. Лента комментариев целиком разворачивается по этой ссылке: www.oper.ru/news/print.php?t=1051602870. Осторожно, встречаются эмоциональные высказывания.

Прошу рассудить, какая из двух сторон права. Было бы хорошо, если бы суждение вынес научный работник или преподаватель. Хотя с другой стороны, по моему личному мнению, для разрешения этого спора достаточно грамотного успевающего студента математической специальности.

Персональная информация. Пользователь Supreme Being утверждает, что является кандидатом технических наук по специальности "томография", и ранее обучался в вузе по специальности "прикладная математика". Я, пользователь Gedeon, закончил механико-математический факультет Киевского университета в 1993 г., ученых степеней не имею.

P.S. Это не шутка, хотя так может показаться. Так уж получилось, что этот спор требует разрешения.

[Henrylee]

Цитата:

Если же мы рассмотрим пространство прямых, заданных уравнением Ax + By + C = 0, то для определения элемента пространства надо знать 3 параметра - A, B и C и соответственно плоскость будет пространством размерности 3 и трехмерной плоскостью.

Человек явно неадекватен. Ну я бы попробовал объяснить ему так. Уравнение, которое он привел, задает в 3-х мерном пространстве плоскость, параллельную оси $OZ$. Любая точка этой плоскости задается двумя параметрическими координатами: например $x$ и $z$ (а $y$ выражается из уравнения). Два параметра - размерность 2.

[AD]

Gedeon писал(а):

Пользователь с ником Supreme Being утверждает: говорить о размерности в отношении поверхностей некорректно. Размерность - это свойство пространства, а поверхность имеет разную размерность в зависимости от того, в каком пространстве ее рассматривать.

Gedeon писал(а):

Вот цитата, в целом выражающая мнение г-на Supreme Being:
1) определение размерности вводится только для пространства, для поверхности - нет,
2) n-мерность в словосочетании "n-мерная поверхность" относится к тому пространству, которое представляет собой поверхность, а не к самой поверхности. Конец цитаты.

Пользователь с ником Supreme Being явно не имеет никакого представления о понятии "топологическая размерность многообразия". Можно доказать, что она (топологическая размерность) не зависит от способа вложения в пространство и вообще не меняется при непрерывных в обе стороны отображениях.
Это понятие общепринято, и изучается у нас на мехмате в курсе дифференциальной геометрии (4-5 семестр). Правда, упомянутая теорема не доказывается ввиду сложности, но весьма легко доказать (в более слабой формулировке), что топологическая размерность гладких поверхностей инвариантна относительно гладких в обе стороны отображений (диффеоморфизмов).

[Руст]

$Ax+By+C=0$ если даже задается тремя параметрами, то надо учесть, что $Aax+Bay+Ca=0$ задаёт ту же поверхность, т.е. один из параметров по сути в задании ничего не меняет. К тому же множество параметров задания не относится к размерности того, чего они задают. Они определяют размерность множество подмножеств типа "плоскости в пространстве".
Не будет же он считать, что размерность эллипса равна 4 из представления (некоторого подмножества) множества эллипсов четырьмя параметрами

$$\frac{(x-a)^2}{A^2}+\frac{(y-b)^2}{B^2}=1.$$

Размерность пространства не только линейного но и топологического (в том числе гладкого многообразия) инвариантна и не зависит от того, куда мы его вкладывает. Если бы это было не так, то и было бессмысленно вводит это понятие. А ваш кандидат технических наук явно не заслуживает степени учёного. К сожалению у нас таких неграмотных учёных хватает не только с кандидатскими, но и с докторскими степенями, а то встречаются и академики.

[Профессор Снэйп]

Supreme Being не прав и несёт настолько дикий бред, что даже не хочется его комментировать.

Что же касается г-на Фоменко, то у меня сложилось впечатление, что математик он вполне грамотный, несмотря на его "исторические" изыскания. Последние у любого нормального человека, обладающего хотя бы толикой здравого смысла, могут вызвать лишь улыбку. Но при всём при этом фраза

Цитата:

Форма биомолекулы в пространстве задается при помощи ломаной с множеством узлов и ребер. Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности.

вполне осмысленна и лично я согласен с утверждением, которое в ней содержится.

[Руст]

С талантом Фоменко никто не спорит. Я имел в виду других академиков.

[shwedka]

Руст

Цитата:

Я имел в виду других академиков.

Списочек, плиз

[Руст]

shwedka писал(а):

Руст

Цитата:

Я имел в виду других академиков.

Списочек, плиз

Список приводит не буду. О покойниках говорят только хорошее или ничего. А живые (или их ученики) могут мстит за нелестные всказывания о них. Когда был молодой убедился в этом в личном опыте.

[Someone]

За термином "размерность" в действительности скрывается большое число весьма различных понятий.
Например, понятие размерности есть в теории векторных пространств: это количество векторов в базисе. Эта размерность определена и для подпространств векторных пространств, а также для линейных многообразий (множеств вида $\vec x_0+L$, где $L$ - подпространство).
В общей топологии есть довольно много разного рода размерностей; основными являются $\dim$, $\mathrm{ind}$ и $\mathrm{Ind}$, но есть ещё воз и маленькая тележка. Эти размерности определены, естественно, и для подпространств, хотя и не обязательно для всех. Есть "относительные" размерности, зависящие от расположения подпространства в пространстве.
Векторное пространство, снабжённое топологией, может иметь и алгебраическую, и топологическую размерность. Для пространства $\mathbb R^n$ алгебраическая и три перечисленные топологические размерности совпадают, для $\mathbb C^n$ топологические размерности вдвое больше алгебраической. В случае поля рациональных чисел $\mathbb Q$ пространство $\mathbb Q^n$ имеет алгебраическую размерность $n$ и топологическую размерность $0$.
В алгебраической топологии есть свои размерностные функции.
Существуют размерности, определяемые с помощью метрики или меры. Некоторые из них могут иметь дробные значения (именно их имеют в виду, когда говорят о дробной размерности фракталов).

Gedeon писал(а):

Пользователь Supreme Being считает, что я несу псевдонаучный бред и отказываюсь вникать в его объяснения.

Возможно, человек разработал собственную "теорию размерности" и теперь её пропагандирует.

О топологических размерностях есть большая книга:

П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

[Mopnex]

Профессор Снэйп писал(а):

несмотря на его "исторические" изыскания. Последние у любого нормального человека, обладающего хотя бы толикой здравого смысла, могут вызвать лишь улыбку.

Интересно, как по Вашему, чтение школьных и институтских учебников по истории не могут вызвать улыбку у любого нормального человека, обладающего хотя бы толикой здравого смысла?

[Gedeon]

Большое спасибо всем, кто ответил. Считаю тему о споре закрытой. Очень надеюсь, что г-н Supreme Being наконец-то прислушается к тому, что ему говорят, и пойдет читать учебники.

[Echo-Off]

Gedeon, ну нафиг оно Вам надо? Надеетесь доказать ему, что он неправ? Едва ли это получится. Ну а если и получится, то что тогда?

[Gedeon]

Echo-Off писал(а):

Gedeon, ну нафиг оно Вам надо? Надеетесь доказать ему, что он неправ? Едва ли это получится. Ну а если и получится, то что тогда?

В принципе, согласен - на фиг не надо. Товарищ показал себя совершенно неадекватным, и дальше спорить с ним - это себя не уважать. В голове у него плохо переваренная мешанина из школьной и простенькой вузовской математики, а самомнение - выше некуда, и ник Supreme Being - характерная тому иллюстрация. Ему вряд ли вообще кто-нибудь что-нибудь докажет.

Но я, пусть и сгоряча, в ходе дискуссии публично дал слово, что добуду квалифицированное мнение математического сообщества о его бреднях. А слово надо держать, пусть даже от этого себе бывает хуже.

Прошу прощения, если отнял время занятых людей. Я очень хорошо понимаю, что отвлек вас на тему, не стоящую выеденного яйца. Сам-то я учился на мехмате, и учился хорошо, хотя впоследствии и не пошел по научной стезе.

[AD]

Да ничего, хоть одна дельная тема в этом разделе получилась. А то у нас своих Supreme-Beingов выше крыши

[Профессор Снэйп]

Mopnex писал(а):

Интересно, как по Вашему, чтение школьных и институтских учебников по истории не могут вызвать улыбку у любого нормального человека, обладающего хотя бы толикой здравого смысла?

Ну, на картинку, подобную этой они вряд ли кого-то вдохновят

История всегда и во все времена была наиболее "ангажированным" предметом. Учебники истории преподносят события с той точки зрения, которая наиболее выгодна текущему правящему режиму. Думаю, нынешние учебники тоже этим страдают (сам их не читал), хотя вряд ли кому-то когда-нибудь удастся переплюнуть в этом отношении советские учебные пособия.

Но тут всё-таки немного другое. В официальной версии, по сравнению с версией Фоменко, здравого смысла на порядок больше, какой бы она там ни была...