Разностное уравнение

[Slow]

Решаем уравнение:

$$(k+1)A_{k+1}+A_k+(n-k+1)(q-1)A_{k-1}={n \choose k}(q-1)^k,A_1=A_2=0,k=2,3,...,n$$

Пытаемся решить с помощью производящей функции: $y(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} A_i x^i$
Сдвигаем индекс в исходном уравнении:

$$(k+2)A_{k+2}+A_{k+1}+(n-k)(q-1)A_{k}={n \choose k+1}(q-1)^{k+1},A_1=A_2=0,k=1,2,...,n-1$$

Умножаем на $x^k$ и суммируем:

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} (k+2)A_{k+2}x^{k}+\sum\limits_{i=k}^{\infty} A_{k+1}x^{k}+\sum\limits_{i=k}^{\infty} (n-k)(q-1)A_{k}x^{k}=\sum\limits_{i=k}^{\infty} {n \choose k+1}(q-1)^{k+1}x^{k}$$

Первое слагаемое: $\frac{y'(x)}{x}$
Второе слагаемое: $\frac{y(x)}{x}$
Третье слагаемое: $(q-1)(ny(x)-xy'(x))$
Итого:

$$y'(x)(1-(q-1)x^2)+y(x)(1+nx(q-1))=(1+(q-1)x)^n-1-nx(q-1)$$

Вот на данном этапе появляются проблемы: общее решение однородного уравнения находится легко разделением переменных, а вот частное не могу найти.
Общее решение однородного уравнения очень страшное получается:

$$y(x)=(1-\sqrt{q-1}x)^{\frac{\sqrt{q-1}n+1}{2\sqrt{q-1}}}\cdot(\sqrt{q-1}x+1)^{\frac{\sqrt{q-1}n-1}{2\sqrt{q-1}}}$$

[Singular]

Частное решение $y_p(x)$ можно записать, например, в виде

$$y_p(x)=\left(1-(q-1)x^2\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}\times$$

$$\times\int\frac{\left[\left(1+(q-1)x\right)^n-1-nx(q-1)\right]}{\left(1-(q-1)x^2\right)^{(1+\frac{n}{2})}}\left(\frac{1+\sqrt{q-1}x}{1-\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}dx$$

Успехов во взятии интеграла
Есть другой возможный путь - представить выражение

$$\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}=e^{-\operatorname{Arth}\sqrt{q-1}x}$$

со всеми дальнейшими преобразованиями, но думаю, что тут тоже не легче будет. Кстати, отсюда следует вывод, что должно соблюдаться условие $\left|\sqrt{q-1}x\right|<1$.

[Singular]

Утро вечера мудренее... Выше сделал ошибку, должно быть так

$$\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2}}=e^{-\operatorname{Arth}\sqrt{q-1}x}$$