2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разностное уравнение
Сообщение23.03.2016, 18:40 


28/05/12
214
Решаем уравнение:
$$(k+1)A_{k+1}+A_k+(n-k+1)(q-1)A_{k-1}={n \choose k}(q-1)^k,A_1=A_2=0,k=2,3,...,n$$
Пытаемся решить с помощью производящей функции: $y(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} A_i x^i$
Сдвигаем индекс в исходном уравнении:
$$(k+2)A_{k+2}+A_{k+1}+(n-k)(q-1)A_{k}={n \choose k+1}(q-1)^{k+1},A_1=A_2=0,k=1,2,...,n-1$$
Умножаем на $x^k$ и суммируем:
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} (k+2)A_{k+2}x^{k}+\sum\limits_{i=k}^{\infty} A_{k+1}x^{k}+\sum\limits_{i=k}^{\infty} (n-k)(q-1)A_{k}x^{k}=\sum\limits_{i=k}^{\infty} {n \choose k+1}(q-1)^{k+1}x^{k}$$
Первое слагаемое: $\frac{y'(x)}{x}$
Второе слагаемое: $\frac{y(x)}{x}$
Третье слагаемое: $(q-1)(ny(x)-xy'(x))$
Итого:
$$y'(x)(1-(q-1)x^2)+y(x)(1+nx(q-1))=(1+(q-1)x)^n-1-nx(q-1)$$
Вот на данном этапе появляются проблемы: общее решение однородного уравнения находится легко разделением переменных, а вот частное не могу найти.
Общее решение однородного уравнения очень страшное получается:
$$y(x)=(1-\sqrt{q-1}x)^{\frac{\sqrt{q-1}n+1}{2\sqrt{q-1}}}\cdot(\sqrt{q-1}x+1)^{\frac{\sqrt{q-1}n-1}{2\sqrt{q-1}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностное уравнение
Сообщение23.03.2016, 23:35 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Частное решение $y_p(x)$ можно записать, например, в виде
$$y_p(x)=\left(1-(q-1)x^2\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}\times$$$$\times\int\frac{\left[\left(1+(q-1)x\right)^n-1-nx(q-1)\right]}{\left(1-(q-1)x^2\right)^{(1+\frac{n}{2})}}\left(\frac{1+\sqrt{q-1}x}{1-\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}dx$$
Успехов во взятии интеграла :D
Есть другой возможный путь - представить выражение
$$\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2\sqrt{q-1}}}=e^{-\operatorname{Arth}\sqrt{q-1}x}$$ со всеми дальнейшими преобразованиями, но думаю, что тут тоже не легче будет. Кстати, отсюда следует вывод, что должно соблюдаться условие $\left|\sqrt{q-1}x\right|<1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностное уравнение
Сообщение24.03.2016, 09:28 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Утро вечера мудренее... Выше сделал ошибку, должно быть так
$$\left(\frac{1-\sqrt{q-1}x}{1+\sqrt{q-1}x}\right)^{\frac{1}{2}}=e^{-\operatorname{Arth}\sqrt{q-1}x}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group