Дельта- функция и Nolting

[Таня Тайс]

Есть простая задача : Дана бесконечно длинная , равномерно заряженная нить с лин. плотностью $k$ .
Надо найти объёмную плотность $p$.

Решение тоже простое (из задачника Nolting `a), ответ $ p= \frac{k}{2 \pi} \frac{ \delta (r)}{r}$, где $r$ радиус в цилиндр. координатах.
Но я НЕ понимаю, как так может быть и что это вообще обозначает, если дельта-функция $ \delta (r)$ равна нулю во всех точках кроме $r=0$.
Чему тогда равна плотность $p$ для $r=0$. И как объяснить этот ответ (судя по всему правильный ???) ?

Добавлено спустя 16 минут 56 секунд:

Nolting с самого начала ищет $p$ в виде $p = \alpha (r) \delta (r)$, т.е. если я правильно понимаю, он заранее "знает", что плотности нигде, кроме нити, нет, а значит, объёмная плотность отличается от линейной на константу. Это так?

Вопрос остается в силе, даже если это и так. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь.

[VeiNo]

Таня Тайс
Очень просто.

Дело в том, что дельта-функция вовсе не функция на самом деле. Такие объекты называются обобщенными функциями и их понимают следующим образом.
Дельта-функция задает функционал:
$(\delta,f)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) f(x)dx$
Который по определению равен $(\delta,f)=f(0)$

Да, такой функции нет, но понимать ее как нечто, задающее такой функционал, можно.

Дельта-функцию ввел Дирак для описания точечных зарядов. В нашем случае нечто похожее - заряд сконцентрирован на нити (которая же нулевого объема!)

Т.е. если рассмотреть заряд в некоторой области содержащей кусок этой нити
$Q=\int dV \rho(\vec{r})=\int 2\pi d\phi rdr dl \rhi(r)=\int k dl \int dr \delta(r) = \int k dl = kl$

Что и следовало ожидать.

[Таня Тайс]

Спасибо огромное!!!

Т.е. чтобы говорить об объёмной плотности, нужно иметь объём, у нити объёма нет, значит и об объёмной плотности говорить нет смысла. Если же мы берём какой-то объём, то результат получается правильный. К этому надо привыкнуть.

То есть $ \delta (0) = \infty $

[Fgolm]

Таня Тайс писал(а):

Решение тоже простое (из задачника Nolting `a),

А где можно скачать такой задачник?

[Таня Тайс]

он есть по-моему, на колхозе, т.е. lib.homelinux.org