Урна с уменьшающейся вероятностью и сходящиеся ряды

[Skipper]

--mS-- в сообщении #1107779 писал(а):

Соответственно,

$$\mathsf P(N \geqslant k) \sim -\int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx.$$

--mS--, я думаю, у вас здесь где-то ошибка.
$N$, у вас означает номер последнего выпавшего белого шара,
$P(N \geqslant k)$ означает вероятность того, после фикированных $k$ попыток, белый шар еще выпадет.
Эта вероятность может быть между 0 и 1 включительно, но никак не может быть отрицательным числом.

$F(x) = x^2$ - случай, который мы рассматриваем, и для которого почему то математическое ожидание получилось бесконечным.

Тогда, из вашего утверждения следует,
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim -\int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.$
и это очевидно, отрицательное число, а вероятность не может быть отрицательной.

Может быть,
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.$
? Посмотрим, что из этого следует.

Тогда, посчитаем эту вероятность. Неопределенный интеграл равен
$\int_{}^{} \frac{1}{x^2}\,dx = \int_{}^{} x^{-2}\,dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$

а значит число ниже положительное:
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = G(\infty) - G(k)$
где $G$ - первообразная, $G(x) = -\frac{1}{x}$.
$G(\infty)$ равно нулю, поэтому,
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = - G(k) = 1/k $

При $k$, стремящемся к бесконечности, $1/k$, стремится к нулю, т.е. вероятности и интегралы
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx $
стремятся к нулю.
Что и соответствует вашему утверждению,

Цитата:

т.е. для всякого $\varepsilon$ найдётся $M$ такое, что $\mathsf P(N \leqslant M) \geqslant 1-\varepsilon$.

только здесь мы считали наоборот, вероятности того, что $N \leqslant M$.

Даже если взять ваш интеграл,
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim -\int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.$

то хотя он будет и отрицательным, но тоже будет стремиться к нулю, при $k$ стремящемся к бесконечности.

-----------------
Хочу спросить, правильно ли я посчитал, что если
$N$, означает номер последнего выпавшего белого шара,
$P(N \geqslant k)$ означает вероятность того, после фиксированных $k$ попыток, белый шар еще выпадет.
$F(x) = x^2$ - случай, который мы рассматриваем

тогда при $k$ стремящемся к бесконечности,

$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = 1/k $
?

Математическое ожидание в таком случае, будет равно среднему арифметическому всех членов гармонического ряда, а т.к. ряд расходится, то и сумма его бесконечна.

-- Ср мар 23, 2016 15:12:10 --

--mS-- в сообщении #1107779 писал(а):

$\mathsf P(N < k) = \prod_{i=k}^\infty \left(1-\dfrac{1}{F(i)}\right) \sim \exp\left\{-\int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx\right\}.$

А вот это похоже, правильно,
$\exp\left\{-\int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx\right\}$
стремиться к $1$, при этом меньше $1$, если
$-\int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx$
меньше нуля, как и получается.

Точнее, если
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx.$
как я предложил, то
$\mathsf P(N < k) = 1 - \int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx$

Значит, верно, что:
$\mathsf P(N \geqslant k) \sim \int_k^\infty \frac{1}{F(x)}\,dx.$
? (без знака минус)

[Skipper]

Значит, выше я писал, Математическое ожидание в таком случае, будет равно среднему арифметическому всех членов гармонического ряда, а т.к. ряд расходится, то и сумма его бесконечна.

Кажется, я понял, что из этого следует, и какая же разница, в случаях..

1) если $F(x) = x$, или даже $F(x) = x \ln x$, то даже в одном, подобном эксперименте, мы будем вытаскивать белый шар бесконечное количество раз (вероятность этого $1$).

2) если $F(x) = x^2$. Тогда в каждой попытке подобного эксперимента, мы вытащим белый шар лишь конечное количество раз (вероятность бесконечного количества белых, в одном эксперименте равна $0$). Но почему матожидание бесконечно, и не удается посчитать "среднестатистический" номер белого шара, который выпадет последним в эксперименте? Предположим, мы будем проводить параллельно много таких экспериментов, т.е. тянуть шары из многих ящиков, и в каждом по одной функции будет расти количество черных и всегда будет один белый. Тогда чем больше таких параллельных экспериментов мы проводим, тем бОльший номер последнего шара, получим в каком то одном эксперименте. Но главное - устремив количество таких параллельных экспериментов к бесконечности, мы добъемся того, что хотя бы в одном, выпадет хотя бы один такой большой номер, который превысит, любое сколь угодно заданное большое число, с вероятностью, уже $1$, и для этого нужно вести всего лишь достаточно большое количество таких параллельных экспериментов. Вот эти сколь угодно большие номера (которые могут превысить любое большое число) - и не дают посчитать нам средний номер последнего шара, т.е. среднее арифметическое на бесконечном множестве экспериментов.

3) если $F(x) = x^3$. Тогда, даже устремив количество таких параллельных экспериментов к бесконечности, мы видим, что выпадает такой большой номер, который превысит, любое сколь угодно заданное большое число, с вероятностью $0$ . Правильно я понимаю?

[gris]

3) Наперёд задание конкретного числа и ограничение этим числом длительности каждой серии выниманий шара уничтожает вредную бесконечность и соответственно нулевую вероятность. Предположим, мы задали число $1000000$. Мы может посчитать, чему равна вероятность вынуть белый шар ровно на миллионном шаге при кубической закладке. Она чрезвычайно мала, но всё же отлична от нуля. При проведении натурных экспериментов можно не проводить промежуточных выниманий, а сразу засыпать необходимое число чёрных шаров. С помощью простейшей формулы мы можем определить вероятность того, что событие состоится хотя бы один раз при проведении $M$ параллельных (или последовательных) экспериментов. И с рстом $M$ эта вероятность будет стремиться к единице. Хотя тут мы влезаем в другую бесконечность Событие, вероятность которого равна единице (в пределе), может и не произойти.

[Skipper]

gris, верно..
Ну должна же быть какая то разница (какие то принципиально разные следствия из экспериментов), в случаях $F(x) = x^2$ и $F(x) = x^3$ ! Эти же два случая принципиально отличаются, в первом матожидание бесконечно, а во втором конечно.
Вот я и хочу найти и понять, какие следствия из экспериментов могут принципиально отличаться.

[gris]

Бесконечных экспериментов не бывает. И невозможность определить "наверняка" методику добавления шаров из двух возможных вариантов за конечное число шагов и конечное число параллельных серий принципиально невозможно. Мы даже не получим чистого нуля или единицы в вероятности верности нашего выбора. Если представить фантастическую возможность бесконечного продления эксперимента, то и там мы всего лишь получим вероятности ноль или единица, но не вывод о невозможности прямого или дополнительного события. Да, наблюдая бесконечное количество серий параллельных экспериментов, мы можем сказать: с вероятностью единица мы наблюдаем кубическое добавление чёрных шаров. Но при этом "в реальности" было квадратичное добавление. Но дело в том,что в реальности не бывает бесконечных повторов.

[Skipper]

Бесконечных величин тоже не бывает, однако ничто не мешает в матанализе ими оперировать.
Чем интересен мой пример, если проводить аналоги с природой,

Skipper в сообщении #1108463 писал(а):

Предположим, в мире иногда случаются некие события с некой вероятностью. (заранее событие предсказать невозможно, т.к. оно чисто вероятностное). Начались они во 2 году нашей эры (2 г. н.э.), продолжаются и ныне в 2016 году, и будут продолжаться в будущем.
Вероятность наступления события в году $N$, равна $1 / F(N)$. Вот сейчас $1/F(2016)$. Функция $F(N)$ - возрастающая, потому с каждым следующим годом, вероятность события уменьшается, и они происходят всё реже. Но и количество лет в будущем - бесконечно. Существуют функции $F(N)$, такие что - случится такой год $N$, в котором это событие наступит В ПОСЛЕДНИЙ раз, и больше за бесконечное время, это событие уже не случится никогда. (и это со 100% вероятностью).

Этот пример показывает, что если Вселенная будет существовать бесконечное время (а это практически уже доказано), то некие события в ней произойдут - бесконечное количество раз, а некие - лишь конечное количество раз.

Не вдаваясь особенно, в физику, есть такое понятие "время возвращения Пуанкаре" для какого то объема пространства, если рассматривать это пространство как квантовую систему. Случайные квантовые флуктуации могут породить (с очень малой вероятностью), скажем, целый аналог Солнечной системы, со всеми планетами, и людьми. Т.е. в будущем, даже после того как все звезды и планеты распадутся, возможно, снова возникнет точно такая же планета Земля, и мы с вами. Конечно, время ожидания подобного события огромно, скажем $10^{10^{10^{10000000000}}}$ лет. Но за бесконечное время, вполне возможно, произойдет бесконечное количество подобных событий. Или вообще никогда не произойдут, и Вселенная навечно погрузится в мрак.
Так что теория довольно интересная. :)

-- Ср мар 23, 2016 18:09:34 --

Skipper в сообщении #1108666 писал(а):

Вот я и хочу найти и понять, какие следствия из экспериментов могут принципиально отличаться.

Точнее - я не говорю, про реальные возможности проведения подобных экспериментов, а чисто про абстрактные, математические следствия.
Абстрактно вполне можно представить, что эксперимент проводим бесконечное время, получаем какие то вероятности выпадания шаров и т.п.
И эти случаи для $F(x) = x^2$ и $F(x) = x^3$ должны чем-то принципиально отличаться, т.к. в первом случае матожидание бесконечно, а во втором конечно.

[--mS--]

Skipper в сообщении #1108649 писал(а):

Эта вероятность может быть между 0 и 1 включительно, но никак не может быть отрицательным числом.

Ну, естественно, без минуса. Копи-паст. Я поправила, спасибо.