Связность и линейная связность в метрическом пространстве

[ellipse]

Действительно, чего это я такое написал

Хотя oskar_808 писал:

Цитата:

Для достаточно хороших пространств эти два свойства совпадают. Например, они совпадают для любого непустого открытого подмножества $\mathbb{R}^n$, для многообразий над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$, для клеточных пространств и т.д.

[Anton_Peplov]

ellipse в сообщении #1108360 писал(а):

для любого непустого открытого подмножества $\mathbb{R}^n$

Здесь, вероятно, имелось в виду, что если открытое множество в $\mathbb{R}^n$ связно, оно и линейно связно. Обращаем внимание на слово "открытое".

[demolishka]

Любое открытое подмножество в $\mathbb{R}^n$ представляется в виде объединения непересекающихся открытых линейно связных множеств. Докажите это, профакторизовав исходное множество по отношению эквивалентности: $x \sim y$, если между ними существует путь.
Далее примените этот результат к своей задаче. Можете обобщить его на локально евклидовы топологические пространства.

Как показывает пример с польским отрезком (графиком $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ и его замыканием в $\mathbb{R}^2$) - линейная связность может потеряться при замыкании, а в открытости всё более-менее хорошо.

[ellipse]

Пусть $M \subset \mathbb{R}^n$ - открытое множество. Пусть $M_a \subset M$ - подмножество точек, которые соединяются с точкой $a$ путем.

Множество $M_a$ открытое. Действительно, пусть $b\in M_a$. Тогда ввиду открытости $M$ найдется шарик $U(b) \subset M$. Шарик $U(b)$ выпуклый, потому линейно и даже прямолинейно связный. Каждая его точка соединяется путем с точкой $a$ через точку $b$, следовательно $U(b)\subset M_a$, а значит $M_a$ открытое.

Если предположим, что $M$ линейно не связное, тогда множество $M \setminus M_a$ не пустое.

Множество $M \setminus M_a$ также открытое. Действительно, пусть $c \in M \setminus M_a$. Тогда точки $a$ и $c$ не соединяются путем. Ввиду открытости $M$ найдется шарик $U(c) \subset M$. Если хотя бы одна точка шарика $U(c)$ соединяется путем с точкой $a$, то точки $a$ и $c$ также соединяются путем через нее. Следовательно, $U(c) \subset M \setminus M_a$, а значит $M \setminus M_a$ открытое.

Получили, что множество $M$ разбивается на два непустых открытых $M = M_a \sqcup (M \setminus M_a)$.

Таким образом, линейно не связное открытое множество не может быть связным.

-- Вт мар 22, 2016 03:32:12 --

Пусть теперь $M$ - многообразие над $\mathbb{R}^n$. Пусть снова $M_a \subset M$ - подмножество точек, которые соединяются с точкой $a$ путем.

Множество $M_a$ открытое. Действительно, пусть $b\in M_a$. Так как $M$ многообразие, то найдется окрестность $V(b) \subset M$, которая гомеоморфизмом $\varphi$ отображается на $V'(b') \subset \mathbb{R}^n$. В окрестности $V'(b')$ найдется шарик $U'(b')$, который линейно связный.

Пусть $x'$ - произвольная точка шарика $U'(b')$. Она соединяется некоторым путем с точкой $b'$. Это значит, что есть непрерывное отображение $f:[0,1]\to U'(b')$ такое, что $f(0)=x'$ и $f(1)=b'$.

Поднимая шарик $U'(b')$ и его произвольную точку $x'$ обратно на многообразие, получим некоторую окрестность $U(b)$ и произвольную точку $x\in U(b)$.

Отображение $\varphi f: [0,1]\to U(b)$ будет тем путем, который соединяет произвольную точку $x\in U(b)$ c точкой $b$.

Итак, каждая точка $x\in U(b)$ соединяется путем с точкой $a$ через точку $b$, следовательно $U(b)\subset M_a$, а значит $M_a$ открытое.

Все остальное доказывается аналогично.

-- Вт мар 22, 2016 03:38:29 --

Как я понимаю, из свойств $\mathbb{R}^n$ используется только то, что у каждой точки есть линейно связные окрестности. Это свойство окрестностей как-то обобщается на произвольные топологии?

[demolishka]

Вы опять усложнили. Классы эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому $M$ есть объединение открытых непересекающихся линейно связных классов эквивалентности. И если их (классов) больше одного, то о какой связности можно говорить. То бишь вот это

ellipse в сообщении #1108394 писал(а):

Множество $M \setminus M_a$ также открытое. Действительно, пусть $c \in M \setminus M_a$. Тогда точки $a$ и $c$ не соединяются путем. Ввиду открытости $M$ найдется шарик $U(c) \subset M$. Если хотя бы одна точка шарика $U(c)$ соединяется путем с точкой $a$, то точки $a$ и $c$ также соединяются путем через нее. Следовательно, $U(c) \subset M \setminus M_a$, а значит $M \setminus M_a$ открытое.

Получили, что множество $M$ разбивается на два непустых открытых $M = M_a \sqcup (M \setminus M_a)$.

- лишнее.

А для многообразий все сводится к тому, чтобы показать, что в этом моменте(с точностью до замены обозначений)

ellipse в сообщении #1108394 писал(а):

Тогда ввиду открытости $M$ найдется шарик $U(b) \subset M$.

Шарик можно взять линейно связный.

[ellipse]

demolishka в сообщении #1108395 писал(а):

Вы опять усложнили. Классы эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются.

До разбиения на классы сразу не додумался, поэтому решил, что необходимо отдельно доказывать открытость дополнения $M_a$. Но зато сам додумался)
По-вашему, конечно, лучше. Дополнение класса есть объединение классов, а классы все открытые.