Связность и линейная связность в метрическом пространстве

[ellipse]

В каких случаях связность и линейная связность гарантированно совпадают? Например, слышал предположение, что они якобы совпадают для метрических пространств. Разве известное пространство с "расческой" нельзя считать метрическим с индуцированной топологией?

[Anton_Peplov]

ellipse в сообщении #1107762 писал(а):

Например, слышал предположение, что они якобы совпадают для метрических пространств.

Предположение неверное. Контрпример для канонической плоскости можно найти в книжке Виро, Иванова, Харламова, Нецветаева "Элементарная топология". А вот на канонической прямой они действительно совпадают.
Там же приведена интересная теорема. Если каждая точка пространства $X$ обладает линейно связной окрестностью, то $X$ связно, если и только если оно линейно связно. Попробуйте доказать ее самостоятельно.

[oskar_808]

Anton_Peplov в сообщении #1107766 писал(а):

Контрпример для канонической плоскости можно найти в книжке Виро, Иванова, Харламова, Нецветаева "Элементарная топология".

Зачем искать контрпример в книжке, если автор поста его уже привёл? Расчёска и блоха - пример метрического пространства, которое является связным, но не линейно связным. Его полное описание с доказательством можно найти в книжке Чес Косневски "Начальный курс алгебраической топологии", стр 115-116.

Anton_Peplov в сообщении #1107766 писал(а):

для канонической плоскости
на канонической прямой

Что это за терминология? Откуда Вы её взяли?

[Anton_Peplov]

От верблюда. Открываем учебник, на который я уже ссылался, на с. 21, и читаем:

Цитата:

Это пространство называется обычно вещественной прямой, а топологическую структуру называют канонической, или стандартной, топологией в $\mathbb{R}$.

Вы хотите меня уверить, что, если вместо "на числовой прямой с канонической топологией" сказать "на канонической прямой", меня кто-нибудь не поймет?

[oskar_808]

ellipse
Всякое линейно связное пространство является связным. Обратное, вообще говоря, неверно даже для метрических пространств. Примером такого пространства (метрического, связного, не линейно связного), действительно, является упомянутая Вами расчёска (с блохой), также пример есть в "Элементарной топологии", как указал Anton_Peplov, и ещё многочисленные примеры таких пространств описаны в заметке http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/topology/connnotpathconn.pdf.

Для достаточно хороших пространств эти два свойства совпадают. Например, они совпадают для любого непустого открытого подмножества $\mathbb{R}^n$, для многообразий над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$, для клеточных пространств и т.д.

-- 19.03.2016, 02:09 --

Anton_Peplov в сообщении #1107771 писал(а):

Открываем учебник, на который я уже ссылался

Эта книжка, которая бесспорно является прекрасным учебником, ни в коем случае не является сводом общеупотребимых определений. Например, там используется слово "согда" в значении "тогда и только тогда", но это не значит, что теперь "согда" - общепринятый математический термин. Более того, словосочетания "каноническая прямая" и "каноническая плоскость" не используются даже там. "Прямая с канонической топологией" - такой термин существует, это совсем другое дело.

Anton_Peplov в сообщении #1107771 писал(а):

Вы хотите меня уверить, что, если вместо "на числовой прямой с канонической топологией" сказать "на канонической прямой", меня кто-нибудь не поймет?

Дело даже не в том, что Вас не поймут, хотя понимание это, конечно, затрудняет. В математике итак достаточно терминов, не нужно изобретать велосипед. Для введения новой терминологии требуются более серьёзные основания. Для Вашей "канонической прямой" есть масса существующих терминов: "вещественная прямая", "действительная прямая", просто "прямая" или "$\mathbb{R}$". Если не говорить дополнительно "со стандартной топологией" или "с канонической топологией", то это предполагается автоматически.

Anton_Peplov в сообщении #1107771 писал(а):

От верблюда.

В отличие от Вас, уровень дискуссии я снижать не намерен.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1107771 писал(а):

Вы хотите меня уверить, что, если вместо "на числовой прямой с канонической топологией" сказать "на канонической прямой", меня кто-нибудь не поймет?

Именно так. Я не пойму, например.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1107784 писал(а):

Именно так. Я не пойму, например.

Хорошо, я приму это к сведению и буду говорить "на числовой прямой с канонической топологией".

[ellipse]

Правильные рассуждения?

Докажем, что для $\mathbb R$ связность и линейная связность совпадают.

Пусть подмножество $X \subset \mathbb R$ линейно связное, то есть любые его две точки $a,b\in X$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset X$. Тогда оно связное в топологическом смысле.

Допустим противное: $X$ несвязное, т.е. распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества $X=A \sqcup B$. Тогда, так как $A,B\ne \varnothing$, найдется $a_1\in A$, $b_1\in B$. Далее процедура деления отрезка пополам. Если уже найдены $a_n\in A$ и $b_n\in B$, делим отрезок $[a_n;b_n]$ пополам. Cередина лежит либо в $A$ либо в $B$. За следующий отрезок берем тот отрезок, концы которого лежат в $A$ и $B$. Существует точка $c$ которая принадлежит всем отрезкам, а значит принадлежит и множеству $X$. При этом точка $c$ предельная как для последовательности $a_n$, так и для $b_n$. Точка $c$ должна принадлежать либо $A$, либо $B$. В обоих случаях одно из множеств $A$ или $B$ содержит предельную точку другого, то есть своего дополнения, а значит одно из них не открытое.

Верно и обратное. Пусть подмножество $X \subset \mathbb R$ связное, то есть не распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества. Тогда любые его две точки $a,b\in X$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset X$.

Допустим противное: Найдутся две точки $a,b\in X$ такие, что $[a;b] \not\subset X$. Это значит, что есть точка $c\in (a;b)$ такая, что $c \not\in X$. Тогда $X= A\sqcup B$, где $A=X\cap (-\infty; c)$ и $B=X\cap (c;+\infty)$. Получили противоречие.

-- Вс мар 20, 2016 13:54:04 --

Пусть $T$ - произвольное топологическое пространство. Докажем, что из линейной связности следует связность.

Допустим противное: множество $X \subset T$ линейно связное, но не связное, то есть распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества $X=A \sqcup B$. Так как $A,B\ne \varnothing$, найдется $a\in A$, $b\in B$. В силу линейной связности найдется непрерывный путь $f:[0;1]\to X$ такой, что $f(0)=a$, $f(1)=b$. Полный прообраз $[0;1] = f^{-1}(X) = f^{-1}(A \sqcup B) = f^{-1}(A) \sqcup f^{-1}(B)$ представляется в виде двух непустых непересекающихся открытых (в силу непрерывности) множеств. Но это невозможно, так как $[0;1]$ - связное.

[tolstopuz]

ellipse в сообщении #1108031 писал(а):

Пусть подмножество $X \subset \mathbb R$ линейно связное, то есть любые его две точки $a,b\in X$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset X$.

Линейная связность определяется не так.

[Brukvalub]

Проще доказать лемму: непустое множество в метрическом пространстве связно тогда и только тогда, когда на нем нельзя задать непрерывную двузначную вещественнозначную функцию, после чего пользоваться этой леммой до изнеможения, и все доказательства про связность и линейную связность станут почти тривиальными.

[ellipse]

tolstopuz в сообщении #1108078 писал(а):

ellipse в сообщении #1108031 писал(а):

Пусть подмножество $X \subset \mathbb R$ линейно связное, то есть любые его две точки $a,b\in X$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset X$.

Линейная связность определяется не так.

А как?

[tolstopuz]

ellipse в сообщении #1108110 писал(а):

А как?

Простите, не заметил, что доказательство для $\mathbb{R}$. Тогда определение правильное, доказательство еще не смотрел.

[ellipse]

Как я понял, доказывать, что в $\mathbb{R}^n$ из связности следует линейная связность, можно так же, как для $\mathbb{R}$ -- делением отрезка пополам и использую покоординатную сходимость.
А как доказывать для многообразия?

[tolstopuz]

ellipse в сообщении #1108322 писал(а):

Доказывать, что в $\mathbb{R}^n$ из связности следует линейная связность, можно так же, как для $\mathbb{R}$ -- делением отрезка пополам и использую покоординатную сходимость.

Какого именно отрезка? Проиллюстрируйте, например, для окружности в $\mathbb{R}^2$.

[Anton_Peplov]

ellipse в сообщении #1108322 писал(а):

доказывать, что в $\mathbb{R}^n$ из связности следует линейная связность

бесполезно. Потому что не следует. Где найти контрпример для $\mathbb{R}^2$ с канонической топологией, уже говорилось.