Strange system

[ins-]

Solve (in reals) the system:
$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+9$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+9$

[DeBill]

Вещественных решений нет.
Есть 4 комплексных:
$x,y = \frac{3 \pm 4i}{2}, z = \frac{3 \pm \sqrt{20}i}{2}$

[ins-]

I found this in a book, downloaded from Internet.
Polynomials: $x^n+y^n-z^n-(x+y-z)^n$ where $n=2,3,4$ can be factored in an useful way and then - it leads to a solution.

[DeBill]

ins-
Полагая $x+y-z=u$, легко выразить все через элементарные симметрические $S=x+y = z+u, p=xy$ и $q=zu$. Полученная система легко решается.

[ins-]

If we want to generate more similar systems that have real solutions it might be useful - $x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+a$ if in this equation $a \ge 5$ the system have solution in real numbers.

[DeBill]

ins- в сообщении #1107819 писал(а):

in this equation $a \ge 5$ the

Нет, в последнем уравнении системы надо $a \geqslant 29$.

[ins-]

Excuse me, it was my mistake. I meant the system:
$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+a$
For $a \ge 5$ it have real solutions.

[scwec]

Решения системы:
$x=\dfrac{1+\sqrt{a-1}}{2},y=-\dfrac{\sqrt{a-1}-1}{2},z=\dfrac{1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=\dfrac{1+\sqrt{a-1}}{2},y=-\dfrac{\sqrt{a-1}-1}{2},z=-\dfrac{-1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=-\dfrac{-1+\sqrt{a-1}}{2},y=\dfrac{\sqrt{a-1}+1}{2},z=\dfrac{1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=-\dfrac{-1+\sqrt{a-1}}{2},y=\dfrac{\sqrt{a-1}+1}{2},z=-\dfrac{-1+\sqrt{a-5}}{2}$

[scwec]

Если автор не против - вариация на тему предыдущей системы.
Заменим в третьем уравнении четвертую степень на пятую.
Найдите все рациональные решения $(x,y,z,a)$ этой новой системы и докажите, что среди них нет целых.

[ins-]

scwec
I have nothing against it. Thank you for inspiring me! I found that:
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$
can be solved.

[scwec]

Вещественных решений здесь нет.
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2},y=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2},z=\dfrac{1\pm{i}}{2}$.

[ins-]

For the collection - these two are also solvable in a similar way. They might be used for something. It is the reason I'm posting them.

$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$

$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$

For polynomials with degree equals to 6 and bigger - the situation becomes more complicated.
Similar systems with varying "+" and "-" signs are also possible.

[scwec]

Замечу, что $x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2},y=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2},z=\dfrac{1\pm{i}}{2}$
является единственными решениями первой системы из предыдущего сообщения ins- и решениями второй системы. У второй системы
есть и другие решения, которые в виду громоздкости здесь не выписываются.
Теперь дам ответ на свой же вопрос о рациональных решениях $(a,x,y,z)$ системы
$x^2+y^2-z^2-(x+y-z)^2=2$,
$x^3+y^3-z^3-(x+y-z)^3=3$,
$x^5+y^5-z^5-(x+y-z)^5=a$
Все рациональные решения имеют вид:
$a=\dfrac{5(t^4+t^2+1)}{2t^2}$,
$x=\pm\dfrac{t^2\pm{t}+1}{2t}$,
$y=\mp\dfrac{t^2\mp{t}+1}{2t}$,
$z=\mp\dfrac{t^2\mp{t}-1}{2t}$,
где $t\ne{0}$ - произвольное рациональное число.
Легко показать, что целыми числами эти $a,x,y,z$ быть не могут.
Относительно вещественных решений этой системы, они появляются при $a\ge{15/2}$.

[ins-]

It was an interesting question. For the signs variation. One of the interesting thing I discovered without using symmetric polynomials and after varying the signs was that the following system:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2+2$
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3+3$
$x^4+y^4+z^4=(x+y+z)^4+6$

is solvable by using some of the following identities I collected:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$(x+y+z)^4-(x^4+y^4+z^4)=2(2(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z)-(xy+yz+zx)^2)$
$x^4+y^4+z^4=(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)+(x+y+z)(xyz)$
Some more systems are also possible, but it becomes too boring. It is the reason I'm stopping looking for more similar systems.