2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Strange system
Сообщение18.03.2016, 18:37 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Solve (in reals) the system:
$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+9$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+9$

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение18.03.2016, 19:37 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Вещественных решений нет.
Есть 4 комплексных:
$x,y = \frac{3 \pm 4i}{2}, z = \frac{3 \pm \sqrt{20}i}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение18.03.2016, 19:42 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
I found this in a book, downloaded from Internet.
Polynomials: $x^n+y^n-z^n-(x+y-z)^n$ where $n=2,3,4$ can be factored in an useful way and then - it leads to a solution.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение18.03.2016, 23:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ins-
Полагая $x+y-z=u$, легко выразить все через элементарные симметрические $S=x+y = z+u, p=xy$ и $q=zu$. Полученная система легко решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение19.03.2016, 11:36 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
If we want to generate more similar systems that have real solutions it might be useful - $x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+a$ if in this equation $a \ge 5$ the system have solution in real numbers.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение19.03.2016, 12:16 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ins- в сообщении #1107819 писал(а):
in this equation $a \ge 5$ the

Нет, в последнем уравнении системы надо $a \geqslant 29$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение19.03.2016, 13:38 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Excuse me, it was my mistake. I meant the system:
$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+a$
For $a \ge 5$ it have real solutions.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение19.03.2016, 22:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Решения системы:
$x=\dfrac{1+\sqrt{a-1}}{2},y=-\dfrac{\sqrt{a-1}-1}{2},z=\dfrac{1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=\dfrac{1+\sqrt{a-1}}{2},y=-\dfrac{\sqrt{a-1}-1}{2},z=-\dfrac{-1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=-\dfrac{-1+\sqrt{a-1}}{2},y=\dfrac{\sqrt{a-1}+1}{2},z=\dfrac{1+\sqrt{a-5}}{2}$
$x=-\dfrac{-1+\sqrt{a-1}}{2},y=\dfrac{\sqrt{a-1}+1}{2},z=-\dfrac{-1+\sqrt{a-5}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение20.03.2016, 14:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Если автор не против - вариация на тему предыдущей системы.
Заменим в третьем уравнении четвертую степень на пятую.
Найдите все рациональные решения $(x,y,z,a)$ этой новой системы и докажите, что среди них нет целых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение20.03.2016, 19:33 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
scwec
I have nothing against it. Thank you for inspiring me! I found that:
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$
can be solved.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение20.03.2016, 22:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Вещественных решений здесь нет.
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2},y=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2},z=\dfrac{1\pm{i}}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение20.03.2016, 23:05 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
For the collection - these two are also solvable in a similar way. They might be used for something. It is the reason I'm posting them.

$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^3+y^3-z^3=(x+y-z)^3+3$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$

$x^2+y^2-z^2=(x+y-z)^2+2$
$x^4+y^4-z^4=(x+y-z)^4+4$
$x^5+y^5-z^5=(x+y-z)^5+5$

For polynomials with degree equals to 6 and bigger - the situation becomes more complicated.
Similar systems with varying "+" and "-" signs are also possible.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение21.03.2016, 21:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Замечу, что $x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2},y=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2},z=\dfrac{1\pm{i}}{2}$
является единственными решениями первой системы из предыдущего сообщения ins- и решениями второй системы. У второй системы
есть и другие решения, которые в виду громоздкости здесь не выписываются.
Теперь дам ответ на свой же вопрос о рациональных решениях $(a,x,y,z)$ системы
$x^2+y^2-z^2-(x+y-z)^2=2$,
$x^3+y^3-z^3-(x+y-z)^3=3$,
$x^5+y^5-z^5-(x+y-z)^5=a$
Все рациональные решения имеют вид:
$a=\dfrac{5(t^4+t^2+1)}{2t^2}$,
$x=\pm\dfrac{t^2\pm{t}+1}{2t}$,
$y=\mp\dfrac{t^2\mp{t}+1}{2t}$,
$z=\mp\dfrac{t^2\mp{t}-1}{2t}$,
где $t\ne{0}$ - произвольное рациональное число.
Легко показать, что целыми числами эти $a,x,y,z$ быть не могут.
Относительно вещественных решений этой системы, они появляются при $a\ge{15/2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strange system
Сообщение21.03.2016, 22:29 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
It was an interesting question. For the signs variation. One of the interesting thing I discovered without using symmetric polynomials and after varying the signs was that the following system:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2+2$
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3+3$
$x^4+y^4+z^4=(x+y+z)^4+6$

is solvable by using some of the following identities I collected:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$(x+y+z)^4-(x^4+y^4+z^4)=2(2(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z)-(xy+yz+zx)^2)$
$x^4+y^4+z^4=(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)+(x+y+z)(xyz)$
Some more systems are also possible, but it becomes too boring. It is the reason I'm stopping looking for more similar systems.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group