2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 16:55 


11/11/12
172
Недавно обнаружил одну интересную геометрическую конфигурацию в GeoGebra.
Треугольники пересекаются в шести точках $X_1,...,X_6$, образуя подобие звезды Давида. Оказалось, что прямые, проходящие через противоположные вершины треугольников, пересекаются в одной точке. Гипотеза: точки $X_1,...,X_6$ лежат на одном эллипсе.Изображение
Пытался найти похожее в Интернете --- ничего такого не обнаружил, хотя полагаю, что эта какая-то известная теорема. Несколько дней думал над доказательством, но не вышло. Подскажите, что это за теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 17:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для произвольных треугольников гипотеза неверна.

-- Пн мар 21, 2016 19:20:34 --

А, стоп. «Оказалось, что прямые пересекаются» — это дополнительное условие? Тогда ясно.

-- Пн мар 21, 2016 19:23:49 --

Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 17:37 


11/11/12
172
arseniiv в сообщении #1108279 писал(а):
Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.



Разве любую такую комбинацию можно получить проективным преобразованием? Не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
А разве это не теорема Паскаля?

-- 21.03.2016, 19:07 --

То бишь, обратная к ей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
function
Мне уже тоже кажется, что не любую. Первый треугольник можно задать шестью параметрами, и две вершины другого четырьмя, но последняя обязана гулять по фиксированной теперь прямой и задаётся одним параметром. Всего 11 параметров, а у проективного преобразования плоскости всего 8, так что какую-то одну фиксированную конфигурацию оно превратить в любую не сможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:34 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Однозначно единого преобразования нет. Одну из вершин треугольника можно произвольно двигать по лучу, это уже ставит крест.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Ну, вместе с теоремой Дезарга.
Точнее, с обратной к ней... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 19:13 


11/11/12
172
Действительно, пары противоположных сторон шестиугольника пересекаются в инцидентных точках по обратной теореме Дезарга, что следует из конкурентности прямых по условию. А значит, по обратной теореме Паскаля, всё хорошо. Спасибо, DeBill!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 19:29 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Докажем прямо: если лежат на эллипсе, то - пересекаются. Эллипс - значит, окружность.
По Паскалю: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на прямой (на катринке: они все - на бесконечности). Значит, два наши тр-ка - перспективны ( с центром перспективы на прямой - вроде, так говорят?) По теореме Дезарга $^{{}-1}$, у них есть и центр перспективы (т.е, наши три прямые пересекаются в одной точке)
Доказали.
Назад: пусть пересекаются в одной точке. Возьмем 5 точек из наших 6, и найдем кривую второго порядка, проходящую через них (5 уравнений, $6-1=5$ коэф-тов, вроде, хватает).Кривая второго порядка - значит, эллипс :D . Точкой $X_6'$ назовем точку пересечения с эллипсом прямой $X_1X_6$. По этим 6 точкам построим новую звезду Давида. Сравнивая ее со старой, видим: некуда деваться точке $X_6$, кроме как совпадать с $X_6'$...

А, уже сделано...Ну да ладно, не пропадать же написанному

-- 21.03.2016, 20:30 --

О - конкурентны!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 20:24 


11/11/12
172
Теорема Паскаля + Теорема Дезарга = мощное средство для решения и придумывания различных красивых конструкций. Сейчас придумал ещё вот такую задачку:
Вершины шестиугольника, у которого главные диагонали конкурентны, лежат на одной конике. Докажите, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника тоже лежат на одной конике.
Здесь нужно 1 раз применить обратную теорему Дезарга и 2 раза --- теорему Паскаля (одну --- прямую, другую --- обратную). Разумеется, верно и обратное утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: genk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group