Два треугольника и эллипс

[function]

Недавно обнаружил одну интересную геометрическую конфигурацию в GeoGebra.
Треугольники пересекаются в шести точках $X_1,...,X_6$, образуя подобие звезды Давида. Оказалось, что прямые, проходящие через противоположные вершины треугольников, пересекаются в одной точке. Гипотеза: точки $X_1,...,X_6$ лежат на одном эллипсе.
Пытался найти похожее в Интернете --- ничего такого не обнаружил, хотя полагаю, что эта какая-то известная теорема. Несколько дней думал над доказательством, но не вышло. Подскажите, что это за теорема.

[arseniiv]

Для произвольных треугольников гипотеза неверна.

-- Пн мар 21, 2016 19:20:34 --

А, стоп. «Оказалось, что прямые пересекаются» — это дополнительное условие? Тогда ясно.

-- Пн мар 21, 2016 19:23:49 --

Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.

[function]

arseniiv в сообщении #1108279 писал(а):

Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.

Разве любую такую комбинацию можно получить проективным преобразованием? Не очевидно.

[DeBill]

А разве это не теорема Паскаля?

-- 21.03.2016, 19:07 --

То бишь, обратная к ей...

[arseniiv]

function
Мне уже тоже кажется, что не любую. Первый треугольник можно задать шестью параметрами, и две вершины другого четырьмя, но последняя обязана гулять по фиксированной теперь прямой и задаётся одним параметром. Всего 11 параметров, а у проективного преобразования плоскости всего 8, так что какую-то одну фиксированную конфигурацию оно превратить в любую не сможет.

[INGELRII]

Однозначно единого преобразования нет. Одну из вершин треугольника можно произвольно двигать по лучу, это уже ставит крест.

[DeBill]

Ну, вместе с теоремой Дезарга.
Точнее, с обратной к ней...

[function]

Действительно, пары противоположных сторон шестиугольника пересекаются в инцидентных точках по обратной теореме Дезарга, что следует из конкурентности прямых по условию. А значит, по обратной теореме Паскаля, всё хорошо. Спасибо, DeBill!

[DeBill]

Докажем прямо: если лежат на эллипсе, то - пересекаются. Эллипс - значит, окружность.
По Паскалю: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на прямой (на катринке: они все - на бесконечности). Значит, два наши тр-ка - перспективны ( с центром перспективы на прямой - вроде, так говорят?) По теореме Дезарга $^{{}-1}$, у них есть и центр перспективы (т.е, наши три прямые пересекаются в одной точке)
Доказали.
Назад: пусть пересекаются в одной точке. Возьмем 5 точек из наших 6, и найдем кривую второго порядка, проходящую через них (5 уравнений, $6-1=5$ коэф-тов, вроде, хватает).Кривая второго порядка - значит, эллипс . Точкой $X_6'$ назовем точку пересечения с эллипсом прямой $X_1X_6$. По этим 6 точкам построим новую звезду Давида. Сравнивая ее со старой, видим: некуда деваться точке $X_6$, кроме как совпадать с $X_6'$...

А, уже сделано...Ну да ладно, не пропадать же написанному

-- 21.03.2016, 20:30 --

О - конкурентны!

[function]

Теорема Паскаля + Теорема Дезарга = мощное средство для решения и придумывания различных красивых конструкций. Сейчас придумал ещё вот такую задачку:
Вершины шестиугольника, у которого главные диагонали конкурентны, лежат на одной конике. Докажите, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника тоже лежат на одной конике.
Здесь нужно 1 раз применить обратную теорему Дезарга и 2 раза --- теорему Паскаля (одну --- прямую, другую --- обратную). Разумеется, верно и обратное утверждение.