Правильные рассуждения?
Докажем, что для
связность и линейная связность совпадают.
Пусть подмножество
линейно связное, то есть любые его две точки
можно соединить отрезком
. Тогда оно связное в топологическом смысле.
Допустим противное:
несвязное, т.е. распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества
. Тогда, так как
, найдется
,
. Далее процедура деления отрезка пополам. Если уже найдены
и
, делим отрезок
пополам. Cередина лежит либо в
либо в
. За следующий отрезок берем тот отрезок, концы которого лежат в
и
. Существует точка
которая принадлежит всем отрезкам, а значит принадлежит и множеству
. При этом точка
предельная как для последовательности
, так и для
. Точка
должна принадлежать либо
, либо
. В обоих случаях одно из множеств
или
содержит предельную точку другого, то есть своего дополнения, а значит одно из них не открытое.
Верно и обратное. Пусть подмножество
связное, то есть не распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества. Тогда любые его две точки
можно соединить отрезком
.
Допустим противное: Найдутся две точки
такие, что
. Это значит, что есть точка
такая, что
. Тогда
, где
и
. Получили противоречие.
-- Вс мар 20, 2016 13:54:04 --Пусть
- произвольное топологическое пространство. Докажем, что из линейной связности следует связность.
Допустим противное: множество
линейно связное, но не связное, то есть распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества
. Так как
, найдется
,
. В силу линейной связности найдется непрерывный путь
такой, что
,
. Полный прообраз
представляется в виде двух непустых непересекающихся открытых (в силу непрерывности) множеств. Но это невозможно, так как
- связное.