Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)

[Denis Russkih]

Mikhail_K в сообщении #1108000 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #1107997 писал(а):

Ведь если действовать чисто на автомате, особо не вдумываясь, то запросто можно записать и так, и так:

Надо научиться чисто на автомате, не вдумываясь, писать $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $\sqrt{x^2}=x$. А уж потом думать, как раскрывается модуль.

Да, конечно, Вы абсолютно правы. :)

К сожалению, с модулями я ещё со школьных времён работаю очень неуверенно. :) Никак не доберусь разобраться с ними как следует. Всё как-то по наитию обхожусь... Ну и вот конкретно это выражение — всю жизнь не могу запомнить. :)

Всё время путаю, то ли $\sqrt{x^2}=|x|$, то ли $(\sqrt{x})^2=|x|$, то ли оба варианта верны... :) Иногда мне начинает казаться, что я наконец запомнил истинное положение вещей, но потом оно снова выветривается из головы.

[Mihr]

Верны, конечно, оба варианта, но только с учётом ОДЗ. А ежели ОДЗ учесть, то получается, что во втором равенстве знак модуля избыточен, поскольку $x$ там может быть лишь неотрицательной величиной.

P.S. Кстати, может быть, Вам стоит так и попробовать запомнить для себя: если $x$ мог бы быть любым, то ограничиваем его возможности знаком модуля (ибо нефиг! ), а вот если он не может быть отрицательным, то и знак модуля не нужен.

[gris]

Как благостно... Уже и откровения пошли. Пост, однако.
Припомнились кстати задачи, чуть ли не повышенной трудности, где раскрытие модулей было самым трудным пунктом. Надо было решать неравенства и всё такое.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #1108011 писал(а):

Никак не доберусь разобраться с ними как следует. Всё как-то по наитию обхожусь...

Можете рисовать графики в случае путаницы. Кстати, есть полезная простая вещь на один раз. Нарисуйте график какой-нибудь функции $f$ (просто от руки что-нибудь) — обычно для удобства берётся непрерывная, но это не важно — и после этого нарисуйте графики функций от $x$:
1. $f(-x)$;
2. $-f(x)$;
3. $f(|x|)$;
4. $|f(x)|$;
5. $f(ax)$;
6. $af(x)$;
5. $f(x + b)$;
6. $f(x) + b$.
Эскизы, конечно. Абсолютная точность не требуется: высчитывать координаты точек с миллиметровкой или линейкой (или сканером и графическим редактором…) — это, понятно, занятие не для людей. В 5-6 можно считать $a$ каким-нибудь положительным, раз в 1-2 минусы разобраны. В 7-8 $b$ можно взять каким угодно, лучше оба знака проверить.

После этого вы, например, будете готовы выводить формулы приведения на лету, если они понадобятся и не запомнились.

И кстати, вместо модуля в 3-4 можно взять ещё какие-нибудь периодические кусочно-линейные функции — например, дробную часть числа $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$, треугольную волну $\left\lvert 2\left\{\frac x2\right\}-1 \right\rvert$ (не пугайтесь записи, сначала нарисуйте график).

[Denis Russkih]

Mihr в сообщении #1108014 писал(а):

Кстати, может быть, Вам стоит так и попробовать запомнить для себя: если $x$ мог бы быть любым, то ограничиваем его возможности знаком модуля (ибо нефиг! ), а вот если он не может быть отрицательным, то и знак модуля не нужен.

Хех, так сказать, "свобода — это осознанная необходимость". :)


arseniiv

Спасибо за совет. :) Звучит занятно.

Покрутил немного всякие функции в уме. Полагаю, дела обстоят так:

1. $f(-x)$ — зеркальное отражение графика функции $f(x)$ относительно оси ординат (т.е. отражение слева направо).
2. $-f(x)$ — зеркальное отражение графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс (т.е. отражение сверху вниз).
3. $f(|x|)$ — график функции слева от оси ординат является зеркальным отражением графика справа от оси ординат.
4. $|f(x)|$ — на участках, где $f(x)<0$, график $|f(x)|$ является зеркальным отражением графика $f(x)$ относительно оси абсцисс, а в остальном соответствует графику $f(x)$.
5. $f(ax)$ — сжатие графика вдоль оси абсцисс (относительно начала координат) в $a$ раз при $a>1$ и растяжение в $a$ раз при $0<a<1$.
6. $af(x)$ — растяжение графика вдоль оси ординат (относительно начала координат) в $a$ раз при $a>1$ и сжатие в $a$ раз при $0<a<1$.
7. $f(x+b)$ — сдвиг графика вдоль оси абсцисс вправо при $b<0$ и влево при $b>0$.
8. $f(x)+b$ — сдвиг графика вдоль оси ординат вниз при $b<0$ и вверх при $b>0$.

-- 20.03.2016, 14:46 --

У моего планшета уже садился заряд, поэтому я был очень краток. :) Теперь могу ответить подробнее.

Пункт 2 и пункты с 5 по 8 мне уже в принципе знакомы, я и раньше имел о них представление. А вот пункты 1, 3 и 4 оказались интересны. :) И впрямь, всё выглядит проще, если представить это графически.

arseniiv в сообщении #1108020 писал(а):

И кстати, вместо модуля в 3-4 можно взять ещё какие-нибудь периодические кусочно-линейные функции — например, дробную часть числа $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$, треугольную волну $\left\lvert 2\left\{\frac x2\right\}-1 \right\rvert$ (не пугайтесь записи, сначала нарисуйте график).

Я всё-таки предпочёл взять всякие функции попроще для мысленных экспериментов, а над Вашими ужасами я подумаю отдельно чуть позже. :) Никогда не имел дела с подобными зверушками, и не знаю, как с ними обращаться. Хотя смотрится интересно.

Насколько я понимаю, графиком $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$ будет этакая "пила"? А графиком $\left\lvert 2\left\{\frac x2\right\}-1 \right\rvert$ будет та же "пила", но сдвинутая вниз на единицу?

[arseniiv]

1-8: прекрасно! Только

Denis Russkih в сообщении #1108035 писал(а):

и растяжение в $a$ раз при $0<a<1$

в $1/a$ раз. Понятно, что вы как раз это и имели в виду.
Надеюсь, это вам принесёт пользу в будущем.

[Denis Russkih]

Denis Russkih в сообщении #1108035 писал(а):

А графиком $\left\lvert 2\left\{\frac x2\right\}-1 \right\rvert$ будет та же "пила", но сдвинутая вниз на единицу?

Блин, забыл о самом главном — о модуле. :)

Значит, "пила" $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$ будет не только сдвинута вниз на единицу, но и зеркально отражена относительно оси абсцисс на тех участках, где $ 2\left\{\frac x2\right\}-1 < 0$.

(Причём сначала сдвиг, а потом отражение.)

Я правильно понял?

arseniiv в сообщении #1108053 писал(а):

Надеюсь, это вам принесёт пользу в будущем.

Спасибо, действительно полезно! :)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #1108035 писал(а):

Насколько я понимаю, графиком $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$ будет этакая "пила"?

Да, пила.

Denis Russkih в сообщении #1108035 писал(а):

А графиком $\left\lvert 2\left\{\frac x2\right\}-1 \right\rvert$ будет та же "пила", но сдвинутая вниз на единицу?

Не, тогда было бы попроще и модуль не понадобился. Это именно треугольная волна, хотя её график и напоминает обычную пилу не меньше, чем график предыдущей, но принято звать их всё-таки sawtooth wave и triangle wave. Короче говоря, треугольная при обращении времени аргумента снова будет треугольной, а пила поменяется с кусочно-растущей на кусочно-убывающую и обратно.

[Denis Russkih]

arseniiv в сообщении #1108053 писал(а):

1-8: прекрасно! Только

Denis Russkih в сообщении #1108035 писал(а):

и растяжение в $a$ раз при $0<a<1$

в $1/a$ раз. Понятно, что вы как раз это и имели в виду.

Так ведь я же написал "растяжение", а не "сжатие". Было бы $1/a$, если бы я написал "сжатие", разве нет?

arseniiv в сообщении #1108058 писал(а):

Не, тогда было бы попроще и модуль не понадобился. Это именно треугольная волна, хотя её график и напоминает обычную пилу не меньше, чем график предыдущей, но принято звать их всё-таки sawtooth wave и triangle wave. Короче говоря, треугольная при обращении времени аргумента снова будет треугольной, а пила поменяется с кусочно-растущей на кусочно-убывающую и обратно.

Значит, надо мне ещё подумать, чего-то я недопонял, видимо. :)

-- 20.03.2016, 15:10 --

А, всё правильно, я уже исправился, получается:

Denis Russkih в сообщении #1108055 писал(а):

Блин, забыл о самом главном — о модуле. :)

Значит, "пила" $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$ будет не только сдвинута вниз на единицу, но и зеркально отражена относительно оси абсцисс на тех участках, где $ 2\left\{\frac x2\right\}-1 < 0$.

(Причём сначала сдвиг, а потом отражение.)

Это и делает её треугольной волной. :) Прикольно!

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #1108061 писал(а):

Так ведь я же написал "растяжение", а не "сжатие". Было бы $1/a$, если бы я написал "сжатие", разве нет?

У вас получится вот как:
• $a = 2$ даёт сжатие в 2 раза,
• $a = 1/2$ даёт растяжение в 1/2 раза, что есть снова сжатие в 2 раза. Упс!

[Denis Russkih]

Во, по поводу пилы — построил в Wolfram Alpha оба графика: раз и два. :) А также промежуточные этапы: один, два, три, четыре. Всё именно так, как я и представлял. :) Теперь окончательно понятно, откуда что берётся.

arseniiv в сообщении #1108067 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #1108061 писал(а):

Так ведь я же написал "растяжение", а не "сжатие". Было бы $1/a$, если бы я написал "сжатие", разве нет?

У вас получится вот как:
• $a = 2$ даёт сжатие в 2 раза,
• $a = 1/2$ даёт растяжение в 1/2 раза, что есть снова сжатие в 2 раза. Упс!

А-а, вот оно что! :) Блин, совсем упустил это из виду. Вечно срезаюсь на подобных "мелочах". Сколько я ни старался вырабатывать в себе внимание к деталям, всё не в коня корм.

Тогда понятно. Спасибо за поправку. :)