2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 19:27 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Захотел тут порешать задачки по математике, просто для удовольствия, чтобы мозги не ржавели... И понял, что уже поздно — заржавели. :)

Не врублюсь, как следует решать вот эту задачу. Нужно вычислить:

$\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)}$

Известен ответ, который должен получиться:

$-\dfrac{7}{2}$

И это действительно так — я проверял на калькуляторе. Но вот как прийти к этому ответу — не имею ни малейшего представления.

Кое-что я, конечно, попытался сделать, в меру своих убогих умственных способностей:

\noindent $\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{3} \cdot \log_2{3} + \log_2{2} - \log_2{9}} - (\log_2{12} + \log_2{\sqrt{2}}) = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{3^{\log_2{3}}} + \log_2{\dfrac{2}{9}}} - \log_2{12} - \dfrac{1}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(\dfrac{2 \cdot 3^{\log_2{3}}}{9}}\Big)} - (\log_2{3} + \log_2{4}) - \dfrac{1}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(\dfrac{2 \cdot 3^{\log_2{3}}}{3^2}}\Big)} - \log_2{3} - 2 - \dfrac{1}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(2 \cdot 3^{\log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(3^{\log_3{2}} \cdot 3^{\log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(3^{\log_3{2} + \log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(\Big(2^{\log_2{3}}\Big)^{\log_3{2} + \log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(2^{\log_2{3} \cdot ({\log_3{2} + \log_2{3} - 2}})}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{3} \cdot ({\log_3{2} + \log_2{3} - 2})} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{3} \cdot \log_3{2} + \log^2_2{3} - 2 \log_2{3}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{1 + \log_2{3} \cdot (\log_2{3} - 2)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{2} + \log_2{3^{\log_2{3} - 2}}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ 
= \sqrt{\log_2{\Big(2 \cdot 3^{\log_2{3} - 2}\Big)}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} 
$

Как вы можете видеть, в итоге мы просто сделали круг и вернулись к тому, что уже было ранее, в шестой сверху строке. :) Сусанин одобряет.

Из плюсов: я могу быть уверен, что нигде не ошибся в расчётах. :) Из минусов: все эти трепыхания ни к чему не привели! Я ходил по кругу! И так каждый раз. Как бы я ни пытался преобразовать это подкоренное выражение, рано или поздно я возвращаюсь к тому, что уже было!

(Оффтоп)

Изображение

Понятия не имею, куда двигаться дальше. Я просто не знаю, что делать с квадратным корнем из логарифма, как его можно преобразовать?.. Похоже, я не знаю какого-то простого правила для действий с логарифмами, поэтому и не могу найти выхода.

Пытался гуглить по запросам "квадратный корень из логарифма" и "square root of logarithm", но находится только логарифм квадратного корня, который мне и так известен. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
1. Под корнем легко выделяется полный квадрат.
2. Разность логарифмов равна логарифму отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Логарифмы лучше приводить к одном основанию. А оно у нас и так одно. Значит, постараемся сделать так, чтобы в логарифмах было одинаковое число. Смотрим на $\log_2 9$. Ещё подсказка. Если есть корень из выражения, то стоит присмотреться к подкоренному выражению. А уже и написали :-)
OFFTOP: Aritaborian, по-моему, это то самое :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 19:52 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Mihr в сообщении #1107907 писал(а):
Под корнем легко выделяется полный квадрат.

А-а-а!!! :) Вот это я протупил!

Даже не подумал о полном квадрате... И всё только потому, что второе и третье слагаемое переставлены местами. :) Если бы они шли как $\log^2_2{3} - \log_2{9} + 1$, то у меня ещё были бы шансы дотумкать. Но коварная перестановка мест слагаемых сделала своё чёрное дело. :) Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.

Спасибо! Вызволили меня из заточения! :) Теперь-то всё выглядит очень просто, конечно. Когда я узнал, в чём прикол.


gris в сообщении #1107910 писал(а):
OFFTOP: Aritaborian, по-моему, это то самое :-)

Это Вы о чём, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):
Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.
Тем самым составители задач, которым удалось Вас запутать, становятся на одну ступеньку с такими нехорошими людьми.

Однажды, когда мне было четыре года, я стоял на тротуаре и ел зефир. Прохожий, проходя, выбил зефир у меня из рук. Может, и ненамеренно, но двигаться можно было и аккуратнее. Прошел и не оглянулся. Так и эти авторы задач... Теперь-то и я знаю, конечно, как надо держать конфетку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Denis Russkih, кстати, в обычных задачах не бывает столько сложных преобразований. Вы очень трудолюбивый человек, но всё же стоило бы на третьей строке остановиться, оглянуться :-) Есть ещё способ научиться бороться с логарифмами и прочими чудовищами: попробуйте сами отнять конфетку. Ну, не настоящую, конечно. Попробуйте сами посоставлять задачи, запутывая самые обычные формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 20:18 
Аватара пользователя


05/01/13

3968

(Оффтоп)

svv в сообщении #1107916 писал(а):
Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):
Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.
Тем самым составители задач, которым удалось Вас запутать, становятся на одну ступеньку с такими нехорошими людьми.

Почему же сразу нехорошими? А если у ребёнка, к примеру, диабет?.. Тогда отобрать конфетку у него — не такое уж и плохое действие.

Лично я искренне восхищён тем, как меня обвели вокруг пальца, и никакой обиды на авторов задач у меня нет. :)



gris в сообщении #1107917 писал(а):
Вы очень трудолюбивый человек

Наоборот, слишком ленивый. Проделал столько действий втупую — лишь потому, что поленился как следует подумать, рассмотреть ситуацию с разных сторон. :) Не зря говорят, что ленивый работу делает дважды. В моём случае даже больше попыток вышло. :)

gris в сообщении #1107917 писал(а):
Есть ещё способ научиться бороться с логарифмами и прочими чудовищами: попробуйте сами отнять конфетку. Ну, не настоящую, конечно. Попробуйте сами посоставлять задачи, запутывая самые обычные формулы.

Спасибо, очень интересный совет. :) Надо над этим поразмыслить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение19.03.2016, 22:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Короче, решайте дальше (другие), не останавливайтесь. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 03:05 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
gris в сообщении #1107910 писал(а):
Aritaborian, по-моему, это то самое
Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):
Это Вы о чём, если не секрет?
Об упорстве, достойном лучшего применения ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495

(Оффтоп)

Нет, нет. Упорство ТС применяется вполне достойно :-( Это касается только меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 08:44 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Denis Russkih в сообщении #1107906 писал(а):
$\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)}$

Первое что приходит в голову: $\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}=$(\log_2{3})^2- 2\cdot (\log_2{3})\cdot 1+1^2=...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Кстати, иногда составители вставляют ещё один подвох. Ну, например, если в логарифмах поменять местами двоечки и троечку:

$\sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} =?$

В голову приходит то же самое. А дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
А в чём сложности? Или Вы о том, что порой нужно писать $a-b$, а порой $b-a$? Ну, так это просто вопрос внимательности, по-моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 10:43 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Александрович

Спасибо, конечно, но я ведь разобрался уже давно. :) После вот этого сообщения всё стало очевидно:

Mihr в сообщении #1107907 писал(а):
Под корнем легко выделяется полный квадрат.




gris

Хитро, хитро. :) Пожалуй, без подсказки Mihr я снова не догадался бы, на что следует обратить внимание. Ведь если действовать чисто на автомате, особо не вдумываясь, то запросто можно записать и так, и так:

\noindent $\sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} = \sqrt{(\log_3{2} - 1)^2} = \log_3{2} - \log_3{3} = \log_3{\dfrac{2}{3}} \\\\
\sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} = \sqrt{(1 - \log_3{2})^2} = \log_3{3} - \log_3{2} = \log_3{\dfrac{3}{2}}
$

Но на самом деле арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом! Поэтому первый вариант не подходит. :) Верен только второй.

Огромное спасибо! Может, для кого-то это действительно лишь вопрос внимательности, но для меня — целое откровение. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)
Сообщение20.03.2016, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Denis Russkih в сообщении #1107997 писал(а):
Ведь если действовать чисто на автомате, особо не вдумываясь, то запросто можно записать и так, и так:

Надо научиться чисто на автомате, не вдумываясь, писать $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $\sqrt{x^2}=x$. А уж потом думать, как раскрывается модуль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group