Последовательности для каждой точки

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #1107948 писал(а):

Была идея взять шары диаметра $1/n$, но как выбрать центры, если пр-во несепарабельное.

Напрягитесь в этом направлении.

[Someone]

ellipse в сообщении #1107921 писал(а):

Критерий Бинга.

Из Википедии взяли? Куда-то не туда Вы посмотрели:

Википедия писал(а):

Критерий Нагаты — Смирнова: пространство X метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.
Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств.

Семейство подмножеств топологического пространства называется дискретным, если каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с одним элементом семейства.

[ellipse]

Смотрел, как доказываются критерии метризуемости в книге Александрова Общая топология. Кончено, подробно разобрать не успел. Но, как я понял, это все как-то связано к компактностью, с возможностью выбирать конечные открытые подпокрытия. Еще там при док-ве рассматриваются пространства $X$ с ограниченной метрикой, т.е. $\mathrm{diam}\ X < \infty$, с оговоркой, что всякая метрика может быть переделана в конечную.

Нельзя ли как-то непосредственно конструктивно доказать критерий Бинга в одну сторону, т.е., что из метричности следует наличие такой невероятной базы?

Хотя бы намекните, как строится эта невероятная база. Может, если я на примере посмотрю, мне будет в дальнейшем легче понять идеи, которые лежат в основе этого критерия.

Может можно строить покрытия шарами диаметра $1/n$ и выбирать конечные (или счетные) подпокрытия, а потом объединить все такие системы по $n$? Во-первых, никак не обосновано, что можно выбирать конченые или счетные системы. Во-вторых, пока не вижу, чтоб эта система обладала нужными свойствами.

[Anton_Peplov]

Интересно, существует ли такая функция для любого топологического пространства такого, что всякое непустое открытое множество бесконечно. Ведь метризуемость для ее существования не обязательна: можно, например, определить топологию так, что пересечение всех (непустых) открытых множеств будет открыто и бесконечно (скажем, на луче $[0, \infty)$ объявить открытыми сам луч, пустое множество и отрезки вида $[0, n]$, $n \in \mathbb{N}$); метризуемости тут c очевидностью нет, а требуемая функция существует.

[Someone]

ellipse в сообщении #1108121 писал(а):

Смотрел, как доказываются критерии метризуемости в книге Александрова Общая топология.

Э-э-э… "Введение в теорию множеств и общую топологию"? Возьмите лучше Р. Энгелькинга (Общая топология. Москва, "Мир", 1986). Глава 4, параграф 4.4. Метризационная теорема Бинга имеет там номер 4.4.8. Теорема о существовании $\sigma$-дискретной базы в метризуемом пространстве — номер 4.4.3.

ellipse в сообщении #1108121 писал(а):

Но, как я понял, это все как-то связано к компактностью, с возможностью выбирать конечные открытые подпокрытия.

Ничего подобного. Это связано не с компактностью, а с паракомпактностью.