Электрический диполь

[Charlz_Klug]

Читаю книгу Сивухина, Электричество. Не совсем понятен следующий момент об электрическом диполе:

Рассмотрим сначала случай, когда точка $A$ лежит на продолжении оси диполя. Напряжённость электрического поля в этой точке будет $E = q (\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2}) \approx q \frac {d} {dr} (\frac {1} {r^2}) (r_2 - r_1)$, или $E = \frac {2ql} {r^3} = \frac {2p} {r^3}$.

Если отложим ось $OX$ от $-q$ и в направлении $+q$, то напряжённость, создаваемая в точке $A$ будет равна (количественно) сумме $E = E_{+q} - E_{-q} = \frac {q} {{r_2}^2} - \frac {q} {{r_1}^2} = q (\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2})$. С этим понятно, не понятно вот это: $q \frac {d} {dr} (\frac {1} {r^2}) (r_2 - r_1)$. Что это такое? Откуда взялась $r$? Насколько я понимаю, $d$ обозначает дифференциал.

[DimaM]

Charlz_Klug в сообщении #1107858 писал(а):

С этим понятно, не понятно вот это: $q \frac {d} {dr} (\frac {1} {r^2}) (r_2 - r_1)$. Что это такое? Откуда взялась $r$? Насколько я понимаю, $d$ обозначает дифференциал.

Это производная от потенциала.
Как известно, в электростатике ${\bf E}=-\nabla\varphi$. В вашем случае (все на одной прямой) $E=-\dfrac{d\varphi}{dr}$.

[Mihr]

Charlz_Klug в сообщении #1107858 писал(а):

С этим понятно, не понятно вот это: $q \frac {d} {dr} (\frac {1} {r^2}) (r_2 - r_1)$. Что это такое?

Вообще-то, $r$ здесь было с самого начала: $E = q (\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2})$
А идея приближённого равенства очень проста: при малых изменениях аргумента приращение функции можно заменить её дифференциалом. Довольно стандартный приём.

[Charlz_Klug]

Mihr в сообщении #1107871 писал(а):

Вообще-то, $r$ здесь было с самого начала: $E = q (\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2})$
А идея приближённого равенства очень проста: при малых изменениях аргумента приращение функции можно заменить её дифференциалом.

То есть, если я Вас правильно понял, допустили что есть функция $y = \frac {1} {r^2}$, далее взяли некоторое $r_1$, получили $y(r_1) = \frac {1} {{r_1}^2}$. После чего прирастили к $r_1$ некоторое $\Delta r \to 0$ и получили $r_2 = r_1 + \Delta r$. Дальше получаем $y(r_2) = \frac {1} {{r_2}^2}$. Тогда, $\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2} = d(\frac {1} {r^2})$ и тогда получается $E = q (\frac {1} {{r_2}^2} - \frac {1} {{r_1}^2}) = q d(\frac {1} {r^2})$. Очевидно, я что-то не так понял. Хотя нет, похоже понял. Можно расписать так: $q d(\frac {1} {r^2}) = q d(\frac {1} {r^2}) \frac {r_2 - r_1} {dr}$, а поскольку $r_2 - r_1 = dr$, то выражение $q d(\frac {1} {r^2}) = q d(\frac {1} {r^2}) \frac {r_2 - r_1} {dr}$ истинно. Так?

[Mihr]

Charlz_Klug, Вы всё правильно поняли. Только почему-то заменили приближённое равенство точным. И ещё: в выражении

Charlz_Klug в сообщении #1107899 писал(а):

После чего прирастили к $r_1$ некоторое $\Delta r \to 0$

"стремление к нулю" мне представляется лишним. (Мы ведь всё-таки не вычисляем здесь пределы). Лучше просто говорить "дали величине $r$ малое приращение" (или что-нибудь в этом роде).

-- 19.03.2016, 19:15 --

Ваша позднейшая приписка - уже лишняя. То, что написано до неё, выглядит лучше.

[Charlz_Klug]

Mihr в сообщении #1107902 писал(а):

Charlz_Klug, Вы всё правильно поняли. Только почему-то заменили приближённое равенство точным.

Спасибо! Тогда продолжаю развивать мысль. Касательно рисунка: получается, что в некоторую точку пространства поместили заряд $+q$, после чего очень близко к $+q$ поместили заряд $-q$?

[Mihr]

Ну да. По определению: диполь - это система из двух точечных зарядов разного знака, но одинакового модуля, расположенных близко друг к другу. (Иными словами, система из двух точечных зарядов разного знака, но одинакового модуля, рассматриваемая с расстояний, значительно больших, чем размер этой системы).

[Charlz_Klug]

Mihr в сообщении #1107911 писал(а):

По определению: диполь - это система из двух точечных зарядов разного знака, но одинакового модуля, расположенных близко друг к другу. (Иными словами, система из двух точечных зарядов разного знака, но одинакового модуля, рассматриваемая с расстояний, значительно больших, чем размер этой системы).

Большое спасибо! Разобрался.

[Theoristos]

Добавлю, что дипольный, квадрупольный и прочемультипольные моменты можно записать как просто разложение точного поля компактной системы заряда по степеням расстояния. Строго и сжато описано в Ландау-Лифшице.

Дипольный момент при этом - второй, гораздо медленней спадающий с расстоянием чем более высшие моменты. Любая запутанная система заряда имеет такие моменты, но чем дальше отойти, тем высшие моменты по вкладу в общий потенциал/поле будут меньше чем более низкие. Именно поэтому издалека лучше виден "диполь" (ну или поле суммарного заряда системы).

А сами системы из двух, четырёх, восьми, ... зарядов - примеры простейших систем, не обладающих моментами более низкого и высокого порядка.

[Walker_XXI]

Charlz_Klug в сообщении #1107909 писал(а):

получается, что в некоторую точку пространства поместили заряд $+q$, после чего очень близко к $+q$ поместили заряд $-q$?

Именно. У Сивухина как раз об этом и написано: "Если длина $l$ пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным". Вы при чтении учебника на этот момент почему-то не обратили внимания.

[Charlz_Klug]

Walker_XXI в сообщении #1108181 писал(а):

Именно. У Сивухина как раз об этом и написано: "Если длина $l$ пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным". Вы при чтении учебника на этот момент почему-то не обратили внимания.

Да, упустил. Спасибо.

-- 27.03.2016, 11:05 --

Theoristos в сообщении #1107998 писал(а):

Дипольный момент при этом - второй, гораздо медленней спадающий с расстоянием чем более высшие моменты. Любая запутанная система заряда имеет такие моменты, но чем дальше отойти, тем высшие моменты по вкладу в общий потенциал/поле будут меньше чем более низкие. Именно поэтому издалека лучше виден "диполь" (ну или поле суммарного заряда системы).

А что значит "второй, гораздо медленней спадающий с расстоянием чем более высшие моменты"? По-моему, мне, пока, с Ландау-Лифшицем стоит повременить.

[Theoristos]

Charlz_Klug: поле нескомпенсированного заряда спадает с расстоянием как $\sim1/R^2$.
Поле диполя как $\sim1/R^3$.
Поле квадруполя $\sim1/R^4$.
... и так далее. В Л-Л есть общая формула разложения, получается ряд по $\sim1/R^{n+1}$.

Поэтому, если у системы есть ненулевой заряд заряд, то на далёких расстояниях "заметен" будет именно он. А остальное будет мелкими поправками. Если общий заряд равен 0, но есть дипольный момент - заметен будет в первую очередь он, понятно, гораздо более слабый. И так далее.

[Charlz_Klug]

Theoristos, спасибо, стало более понятней.