Выпуклые и вогнутые функции

[ExtreMaLLlka]

Выбрать выпуклую и вогнутую функции:
$\frac{x+y}{5x-y}, 3x^2+4xy+y^2, |7x-3y|, -x^2-y$

Теории для решения данной задачи не нашла. Если только для второй функции составить матрицу гессе вторых производных и посчитать ее определитель.
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6$,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=4$,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2$,
то есть определитель равен -4 - функция не обладает свойством выпуклости.
Для исследования остальных функций этот метод не подойдет, как я понимаю. что делать тогда?

[Koncopd]

Что касается матрицы Гессе, то ей достаточно быть отрицательно полуопределенной, чтобы функция была вогнутой. Так что обратите внимание на функцию $-x^2-y$.
Что касается выпуклой функции, то подходит функция $|7x-3y|$, для доказательства можно использовать неравенство Йенсена для этой функции - $f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b), t \in [0, 1], a, b \in R^2$, которое выполняется.

[Brukvalub]

ExtreMaLLlka в сообщении #1107342 писал(а):

Для исследования остальных функций этот метод не подойдет, как я понимаю

Опишите подробнее, как вы это поняли, и почему вы не выучили критерий Сильвестра.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1107363 писал(а):

и почему вы не выучили критерий Сильвестра.

Видимо, потому, что он здесь не нужен.

ExtreMaLLlka в сообщении #1107342 писал(а):

Для исследования остальных функций этот метод не подойдет

Он не подойдёт только для третьей. И не нужен для первой.

[ExtreMaLLlka]

ну допустим с функциями, 2 и 4 разобралась.
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость? и она удовлетворяет условию выпуклости?
а для первой что нужно?)

[Brukvalub]

ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):

а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость?

Про выпуклость композиции выпуклых функций вы что-нибудь слышали?

[ewert]

ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):

а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость?

А про третью Вам уже отвечали:

Koncopd в сообщении #1107358 писал(а):

для доказательства можно использовать неравенство Йенсена для этой функции

(хотя громогласная ссылка на "неравенство Йенсена" и отвратительна; достаточно было бы сослаться на тупо определение выпуклости)

-- Пт мар 18, 2016 00:50:00 --

ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):

а для первой что нужно?)

А, да, что нужно. Нужно просто тупо прикинуть, что будет с этой функцией на какой-нибудь прямой. Там же тупо гипербола выйдет.

[Koncopd]

ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):

ну допустим с функциями, 2 и 4 разобралась.
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость? и она удовлетворяет условию выпуклости?
а для первой что нужно?)

Ну, например, она определена на невыпуклом множестве, а в определении выпуклости требуется выпуклое множество.

[mihailm]

Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):

...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...

А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1107581 писал(а):

Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):

...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...

А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

А она и не определена на невыпуклом множестве; и хуже того -- Koncopd говорил вовсе не о ней.

[Koncopd]

mihailm в сообщении #1107581 писал(а):

Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):

...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...

А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

Да я про первую функцию.