2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 13:10 


31/03/15
118
Выбрать выпуклую и вогнутую функции:
$\frac{x+y}{5x-y},  3x^2+4xy+y^2,  |7x-3y|,  -x^2-y$

Теории для решения данной задачи не нашла. Если только для второй функции составить матрицу гессе вторых производных и посчитать ее определитель.
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6$,
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=4$,
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2$,
то есть определитель равен -4 - функция не обладает свойством выпуклости.
Для исследования остальных функций этот метод не подойдет, как я понимаю. что делать тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 14:09 


14/07/13
43
Что касается матрицы Гессе, то ей достаточно быть отрицательно полуопределенной, чтобы функция была вогнутой. Так что обратите внимание на функцию $-x^2-y$.
Что касается выпуклой функции, то подходит функция $|7x-3y|$, для доказательства можно использовать неравенство Йенсена для этой функции - $f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b), t \in [0, 1], a, b \in R^2$, которое выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ExtreMaLLlka в сообщении #1107342 писал(а):
Для исследования остальных функций этот метод не подойдет, как я понимаю

Опишите подробнее, как вы это поняли, и почему вы не выучили критерий Сильвестра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 20:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub в сообщении #1107363 писал(а):
и почему вы не выучили критерий Сильвестра.

Видимо, потому, что он здесь не нужен.
ExtreMaLLlka в сообщении #1107342 писал(а):
Для исследования остальных функций этот метод не подойдет

Он не подойдёт только для третьей. И не нужен для первой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 22:21 


31/03/15
118
ну допустим с функциями, 2 и 4 разобралась.
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость? и она удовлетворяет условию выпуклости?
а для первой что нужно?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость?
Про выпуклость композиции выпуклых функций вы что-нибудь слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение17.03.2016, 23:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость?

А про третью Вам уже отвечали:

Koncopd в сообщении #1107358 писал(а):
для доказательства можно использовать неравенство Йенсена для этой функции

(хотя громогласная ссылка на "неравенство Йенсена" и отвратительна; достаточно было бы сослаться на тупо определение выпуклости)

-- Пт мар 18, 2016 00:50:00 --

ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):
а для первой что нужно?)

А, да, что нужно. Нужно просто тупо прикинуть, что будет с этой функцией на какой-нибудь прямой. Там же тупо гипербола выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение18.03.2016, 05:27 


14/07/13
43
ExtreMaLLlka в сообщении #1107476 писал(а):
ну допустим с функциями, 2 и 4 разобралась.
а про 3 не понятно, там получается же согнутая плоскость? и она удовлетворяет условию выпуклости?
а для первой что нужно?)

Ну, например, она определена на невыпуклом множестве, а в определении выпуклости требуется выпуклое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение18.03.2016, 12:42 


19/05/10

3940
Россия
Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):
...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...
А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение18.03.2016, 19:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1107581 писал(а):
Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):
...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...
А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

А она и не определена на невыпуклом множестве; и хуже того -- Koncopd говорил вовсе не о ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые и вогнутые функции
Сообщение18.03.2016, 23:07 


14/07/13
43
mihailm в сообщении #1107581 писал(а):
Koncopd в сообщении #1107521 писал(а):
...Ну, например, она определена на невыпуклом множестве...
А можно нарисовать эту невыпуклую согнутую плоскость? жутко интересно

Да я про первую функцию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group