2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимизация/минимизация функций
Сообщение17.03.2016, 22:04 


17/03/16
7
Найдите наибольшее значение при $a,b \geqslant 1$ выражения

$\cfrac{|7a+8b-ab|+|2a+8b-ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$

Решение 1-ым способом:
Изображение
Какой метод используется в первом решении?
Почему находится расстояние $d_1+d_2$ до некой прямой $l$?

Решение 2-ым способом:
Изображение
Какой метод используется во втором решении?

Каким методом лучше всего решать подобные задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение17.03.2016, 23:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ArtNNN
Метод называется Аналитическая геометрия. В серии указанных задач эксплуатируется формула, дающая расстояние $d$от точки $(x_0,y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$:
$d = \frac{\left\lvert ax_0 + by_0 + c \right\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Метод решения: тупо смотришь на страшное выражение, и с помощью формул пытаешься его интерпретировать в качестве чего-то приличного.
Метод составления таких задач: берешь че-нибудь приличное, переписывешь по формулам, и полученное страшное выдаешь испуганным детям...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение18.03.2016, 12:10 


17/03/16
7
В первом решении данного выражения мы максимизируем сумму $d_1+d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - расстояния до прямой $l$
Собственно, откуда взялась эта прямая, и почему мы ищем расстояние до нее?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.03.2016, 12:16 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и), не указаны конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.03.2016, 13:14 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


Стартовое сообщение было отредактировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение18.03.2016, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ArtNNN в сообщении #1107569 писал(а):
Собственно, откуда взялась эта прямая, и почему мы ищем расстояние до нее?

Прямую придумал тот, кто писАл решение, он же преобразовал целевую функцию так, что получилась формулы расстояния от точки до этой прямой. Кстати, а кто писАл это решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение18.03.2016, 17:34 


17/03/16
7
Brukvalub в сообщении #1107599 писал(а):
Кстати, а кто писАл это решение?

СПбГУ

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение18.03.2016, 23:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ArtNNN в сообщении #1107473 писал(а):
Какой метод используется во втором решении?

Используется Принцип БЯКИ ("Видишь бяку - обозначь!" - термин, введенный в обиход В.Уфнаровским) и стремление к уменьшению сучщностей. Конкретно: решатель заметил, что после деления на $ab$ количество бяк уменьшится (были $a,b$ и $ab$, а остались $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$). Дальше - стандартная техника раскрытия модулей, $+$ нетривиальные оценки....
Оба решения - лучше: первое позволяет придать задаче наглядность, что немедленно указывет путь отыскания максимума. Такие же оценки проводятся фактически и во втором решении - однако хрен их угадаешь. как их угадать? А с другой стороны - как увидеть ту прямую? Так что - да , оба решения - того...
Ну да просто задача дурная!

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение19.03.2016, 05:49 


17/03/16
7
DeBill в сообщении #1107747 писал(а):
А с другой стороны - как увидеть ту прямую? Так что - да , оба решения - того...
Ну да просто задача дурная!

Мне бы понять, как в первом решении составить уравнение прямой в виде $ax+by+c=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизация/минимизация функций
Сообщение19.03.2016, 06:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вы задание неправильно набрали. В числителе опечатка.
Должно быть
$\cfrac{|7a+8b-ab|+|2a+8b-6ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$.
Понятно, что это сумма расстояний (см. формулу выше), $d_1=\cfrac{|7a+8b-ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$, $ d_2$ - все остальное (выпишите).
Итого $d_1=\cfrac{|7a+8b-ab|}{\sqrt{a^2+(ab)^2}}$, и уравнение прямой выглядит так: $ax\pm ab y +c=0$.

Нам достаточно выбрать какую-то одну прямую, нам же не прямые искать, а расстояния: точки будут другие, от которых расстояние мерили, если прямая другая, а расстояние то же.

Берем $ax +ab y +c=0$. Теперь любуемся на числитель. Лучше на оба, в обоих расстояниях, одновременно.
Методом любования выясняем, что член $8b$, что характерно, один и тот же и в первом расстоянии, и во втором, а к нему добавляются
1) в первом расстоянии $7\cdot a + 1\cdot (-ab)$,
2) во втором расстоянии $2\cdot a+ 6\cdot (-ab)$,

что позволяет сделать три вывода сразу: что координаты первой точки $(7,1)$, второй - $(2,6)$, а свободный член в уравнении прямой $c=8b$.

И ей-богу, ни один человек в здравом уме это не пишет. Есть формула, узнали, подогнали прямую и точки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group