Максимизация/минимизация функций

[ArtNNN]

Найдите наибольшее значение при $a,b \geqslant 1$ выражения

$\cfrac{|7a+8b-ab|+|2a+8b-ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$

Решение 1-ым способом:

Какой метод используется в первом решении?
Почему находится расстояние $d_1+d_2$ до некой прямой $l$?

Решение 2-ым способом:

Какой метод используется во втором решении?

Каким методом лучше всего решать подобные задачи?

[DeBill]

ArtNNN
Метод называется Аналитическая геометрия. В серии указанных задач эксплуатируется формула, дающая расстояние $d$от точки $(x_0,y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$:
$d = \frac{\left\lvert ax_0 + by_0 + c \right\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Метод решения: тупо смотришь на страшное выражение, и с помощью формул пытаешься его интерпретировать в качестве чего-то приличного.
Метод составления таких задач: берешь че-нибудь приличное, переписывешь по формулам, и полученное страшное выдаешь испуганным детям...

[ArtNNN]

В первом решении данного выражения мы максимизируем сумму $d_1+d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - расстояния до прямой $l$
Собственно, откуда взялась эта прямая, и почему мы ищем расстояние до нее?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и), не указаны конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Стартовое сообщение было отредактировано.

[Brukvalub]

ArtNNN в сообщении #1107569 писал(а):

Собственно, откуда взялась эта прямая, и почему мы ищем расстояние до нее?

Прямую придумал тот, кто писАл решение, он же преобразовал целевую функцию так, что получилась формулы расстояния от точки до этой прямой. Кстати, а кто писАл это решение?

[ArtNNN]

Brukvalub в сообщении #1107599 писал(а):

Кстати, а кто писАл это решение?

СПбГУ

[DeBill]

ArtNNN в сообщении #1107473 писал(а):

Какой метод используется во втором решении?

Используется Принцип БЯКИ ("Видишь бяку - обозначь!" - термин, введенный в обиход В.Уфнаровским) и стремление к уменьшению сучщностей. Конкретно: решатель заметил, что после деления на $ab$ количество бяк уменьшится (были $a,b$ и $ab$, а остались $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$). Дальше - стандартная техника раскрытия модулей, $+$ нетривиальные оценки....
Оба решения - лучше: первое позволяет придать задаче наглядность, что немедленно указывет путь отыскания максимума. Такие же оценки проводятся фактически и во втором решении - однако хрен их угадаешь. как их угадать? А с другой стороны - как увидеть ту прямую? Так что - да , оба решения - того...
Ну да просто задача дурная!

[ArtNNN]

DeBill в сообщении #1107747 писал(а):

А с другой стороны - как увидеть ту прямую? Так что - да , оба решения - того...
Ну да просто задача дурная!

Мне бы понять, как в первом решении составить уравнение прямой в виде $ax+by+c=0$

[Otta]

Вы задание неправильно набрали. В числителе опечатка.
Должно быть
$\cfrac{|7a+8b-ab|+|2a+8b-6ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$.
Понятно, что это сумма расстояний (см. формулу выше), $d_1=\cfrac{|7a+8b-ab|}{a\sqrt{1+b^2}}$, $ d_2$ - все остальное (выпишите).
Итого $d_1=\cfrac{|7a+8b-ab|}{\sqrt{a^2+(ab)^2}}$, и уравнение прямой выглядит так: $ax\pm ab y +c=0$.

Нам достаточно выбрать какую-то одну прямую, нам же не прямые искать, а расстояния: точки будут другие, от которых расстояние мерили, если прямая другая, а расстояние то же.

Берем $ax +ab y +c=0$. Теперь любуемся на числитель. Лучше на оба, в обоих расстояниях, одновременно.
Методом любования выясняем, что член $8b$, что характерно, один и тот же и в первом расстоянии, и во втором, а к нему добавляются
1) в первом расстоянии $7\cdot a + 1\cdot (-ab)$,
2) во втором расстоянии $2\cdot a+ 6\cdot (-ab)$,

что позволяет сделать три вывода сразу: что координаты первой точки $(7,1)$, второй - $(2,6)$, а свободный член в уравнении прямой $c=8b$.

И ей-богу, ни один человек в здравом уме это не пишет. Есть формула, узнали, подогнали прямую и точки.