Урна с уменьшающейся вероятностью и сходящиеся ряды

[Skipper]

Xaositect, Ну тогда неопределенный интеграл равен

$\int\limits_{}^{} \frac{1}{N {(\ln N)} ^ {(1 + \varepsilon)}} = \frac{-1}{\varepsilon {(\ln N)}^{\varepsilon}}$

Можно продифференцировать обратно и убедиться что это так. Возьмем к примеру, $\varepsilon = 0.01$,

$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{1}{N {(\ln N)} ^ {(1 + \varepsilon)}} dN = \lim\limits_{b \to \infty}^{} ( \frac{-1}{0.01 {(\ln b)}^{0.01} } - \frac{-1}{0.01 {(\ln 2)}^{0.01}} )$ $=$ $\lim\limits_{b \to \infty}^{} ( \frac{1}{0.01 {(\ln 2)}^{0.01}} - \frac{1}{0.01 {(\ln b)}^{0.01} } )$

Второе слагаемое, $\frac{1}{0.01 {(\ln b)}^{0.01} }$, всегда конечно и стремится к $0$, т.к. $\ln b$ стремиться к бесконечности, то и любая его положительная степень, в данном случае - по сути, корень $100$-й степени, (умноженная на константу, в данном случае $0.01$) будет стремиться к бесконечности. А $1$ деленное на число стремящееся к бесконечности, будет стремиться к $0$.

Значит, формула сильно упрощается, нужно рассматривать только первое слагаемое, и этот несобственный интеграл, вообще говоря, зависит только от $\varepsilon$.

$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{1}{N {(\ln N)} ^ {(1 + \varepsilon)}} dN = \frac{1}{\varepsilon {(\ln 2)}^{\varepsilon}}$

При $\varepsilon$ стремящемся к $0$, ${(\ln 2)}^{\varepsilon}$ будет стремиться к $1$, а потому, формула для интеграла еще больше упрощается, точнее, значение интеграла эквивалентно равно

$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{1}{N {(\ln N)} ^ {(1 + \varepsilon)}} dN = \frac{1}{\varepsilon}$

Я даже не ожидал, что настолько упростится вычисление этого интеграла. Ну тогда всё понятно, при $\varepsilon = 0$ это значение интеграла равно бесконечности, потому и сумма ряда $\sum\limits_{}^{}\frac{1}{N \ln N}$ по всем натуральным $N$ от $2$ до $\infty$, расходится и бесконечна. (мы получили второй вариант доказательства этого). Этот ряд расходится еще медленнее чем гармонический. Трудно придумать еще медленнее расходящийся ряд.
Но стоит добавить к степени $1$, сколь угодно малое $\varepsilon$,и неважно, для множителя $N$, или $\ln N$, и ряд уже перестает расходиться, к примеру, для любого $\varepsilon$ этот ряд сходится, и сумма его конечна -

$\sum\limits_{}^{}\frac{1}{N {(\ln N)}^{(1 + \varepsilon)}}$.

Спасибо за помощь, с этой задачей было интересно разобраться! :) Изучил самые медленно расходящиеся ряды.

-- Чт мар 17, 2016 20:43:33 --

Надеюсь, нигде не ошибся.

[Sonic86]

Skipper в сообщении #1107466 писал(а):

Трудно придумать еще медленнее расходящийся ряд.

Кстати, совсем нетрудно, Вам уже намекали выше на пример такого ряда. И по аналогии можно придумать цепочку еще более медленно расходящихся рядов.

[Skipper]

вы имеете в виду, что сумма ряда $\sum\limits_{}^{} \frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)^{(1+\varepsilon)}} $ сходится, а сумма ряда
$\sum\limits_{}^{} \frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)} $ расходится?

-- Пт мар 18, 2016 10:23:05 --

Каким будет неопределенный интеграл от функции $\int\limits_{}^{} \frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)^{(1+\varepsilon)}} $ ?
У меня нет опыта нахождения сложных интегралов, потому очень трудно это вывести.. :(

[gris]

Мoжно и продожить: $\int \frac{dN}{N \ln N (\ln \ln N)(\ln \ln\ln N)(\ln \ln \ln\ln N)^a} $
Эти интегралы легко берутся в неопределённом виде последовательными подстановками
А пример Вы интересный придумали. Для меня было удивительно, что событие, вероятность которого равна нулю, может произойти. А если взять много таких событий, то одно из них обязательно произойдёт. Например, случайный выбор точки на прямой.

[arseniiv]

Терминологическая поправка: сумма ряда не может сходиться или расходиться, это делает сам ряд. Сумма может не существовать или быть бесконечной или конечной, например.

[Skipper]

Цитата:

Для меня было удивительно, что событие, вероятность которого равна нулю, может произойти

Не может. Случайный выбор точки на прямой - событие с ненулевой вероятностью. Когда мы выбираем какую-то точку на прямой, определяющую число, мы выбираем вычислимое число. Т.е. такое число, все цифры (знаки) которого, определяются какой-то конечной цепочкой правил. Чем длиннее эта цепочка правил, тем с меньшей вероятностью мы выберем такое число. А невычислимое число мы и вовсе выбрать не можем. Следовательно, множество чисел, которое может выбрать человек - конечно, и для каждого числа - есть ненулевая вероятность, что его выберут.

-- Пт мар 18, 2016 11:51:47 --

в случае с функцией, $F(N) = {N}^{1+\varepsilon}$, количество вытащенных белых шаров будет конечным. В любое время, вытаскивая эти шары, мы не можем быть уверены, что больше никогда мы не вытащим белый шар. Все наши попытки будут с ненулевой вероятностью давать шанс вытащить белый шар. И попыток бесконечное количество. Предположим попытка $N$, и это число $N$ уже огромно, т.е. мы уже давно и долго таскаем шары. Значит вероятность вытащить белый шар, уже ничтожна, настолько, что мы не верим что когда либо появится белый шар.

И вот, белый шар всё таки появляется... Ну, думаем, уж больше то точно не появится. Таскаем шары дальше - и снова наступает момент, белый шар появляется. Надежда на то, что еще будут белые шары - будет жить вечно, и всегда.. но математически легко доказать, что вытаскивание белого шара, действительно в последний раз - обязательно произойдет.

Предположим, есть математическая гипотеза, которая верна, но это недоказумо. Мы можем верить в нее, можем не верить, но о том, что она верна, достоверно, никогда не узнаем. Так же как никогда не узнаем о том, что мы вытащили белый шар, действительно, в последний раз.

[Vince Diesel]

Skipper в сообщении #1107329 писал(а):

И всё таки, должен наступить момент, когда мы в последний раз вытащим белый шар.. После этого, значит, тянем шары, бесконечное количество раз, каждый раз с ненулевой вероятностью вытащить белый шар, надеемся, и всё таки, больше никогда, белый шар не появится.

Не должен, а может. Правда, с вероятностью единица. И можно сказать, что дальше шар не выпал, если у нас есть уже полная бесконечная серия испытаний. А в процессе сказать нельзя.

А если посчитать средний номер, на который приходится последний белый шар, не получится ли там бесконечноть?

[Skipper]

Цитата:

А если посчитать средний номер, на который приходится последний белый шар, не получится ли там бесконечноть?

Не получится. Для каждой функции есть некий средний номер выпадания последнего шара. Бесконечность получится в случае, если ряд расходится, и белые шары будут появляться бесконечное количество раз.

[Vince Diesel]

Это откуда то следует? Скажем, для $1/N^2$? У распределения Коши с плотностью, которая имеет такой же порядок убывания, матожидания нет. Но даже если конечно, то распределение для последнего шара имеет в таком случае ненулевую вероятность для каждого $N$.

[gris]

К невозможности происхождения события с нулевой вероятностью.
Ну а вероятность получения одних орлов при бесконечном подбрасывании идеальной монетки разве не равна нулю? А что же может запретить орлам появляться раз за разом? Кто может запретить Вашему белому шару вытаскиваться не то, чтобы бесконечное число раз, а вообще каждый раз?

[Skipper]

Цитата:

А что же может запретить орлам появляться раз за разом?

Конечно не может. Но даже если выпадают только орлы, то мы не можем сказать, что произошло событие с нулевой вероятностью. Произошло - с какой то очень малой вероятностью, это да. Но не с нулевой. А момента, после которого мы скажем "мы провели бесконечное количество экспериментов" - мы же никогда не дождемся.

-- Пт мар 18, 2016 12:14:33 --

Цитата:

Это откуда то следует?

Считать надо, я так быстро не могу сказать.

-- Пт мар 18, 2016 12:18:35 --

Цитата:

Эти интегралы легко берутся в неопределённом виде

Кому легко, а кому трудно, если мало опыта нахождения сложных интегралов. Если посчитать
$\int\limits_{}^{} \frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)^{(1+\varepsilon)}} $
то наверно можно будет вообще вывести некую закономерность, для всех расширений в цепочке

[Lia]

Skipper
Для цитирования нужных фрагментов хорошо приспособлена кнопка Вставка, познакомьтесь, пожалуйста.
Устное замечание за постоянное некорректное цитирование: не указан автор цитаты, отсутствует ссылка на цитируемое сообщение.

[gris]

Интеграл: Конечно, там закономерность типа матрёшки.
Насчёт событий Вы стоите на какой-то конструктивистской позиции? Что событий, содержащих в себе бесконечное число исходов, быть не может? Я, право, не знаю. Вероятно, это имеет место в каких-то теориях. Я как-то пытался придумать пример "конечного" события с нулевой вероятностью, но не невозможного. Не получилось

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1107575 писал(а):

Не может. Случайный выбор точки на прямой - событие с ненулевой вероятностью. Когда мы выбираем какую-то точку на прямой, определяющую число, мы выбираем вычислимое число.

Skipper в сообщении #1107594 писал(а):

Конечно не может. Но даже если выпадают только орлы, то мы не можем сказать, что произошло событие с нулевой вероятностью. Произошло - с какой то очень малой вероятностью, это да. Но не с нулевой. А момента, после которого мы скажем "мы провели бесконечное количество экспериментов" - мы же никогда не дождемся.

Знатная путаница математики вообще и некоторых отдельных моделей реальных процессов.

[Otta]

Skipper в сообщении #1107594 писал(а):

Конечно не может. Но даже если выпадают только орлы, то мы не можем сказать, что произошло событие с нулевой вероятностью. Произошло - с какой то очень малой вероятностью, это да. Но не с нулевой.

Можем-можем. Это невозможные события имеют нулевую вероятность. А обратное неверно. Если у события нулевая вероятность, оно не обязано быть невозможным. И вообще, в фиксированном вероятностном пространстве невозможное событие только одно. И обозначается известно как.