2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Урна с уменьшающейся вероятностью и сходящиеся ряды
Сообщение17.03.2016, 12:09 


24/03/09
505
Минск
Меня больше всего поражает следующий факт.
Будем проводить такой мысленный эксперимент.
В ящике (который может быть сколь угодно больших размеров), всегда находится $1$ белый шар, и $N$ черных шаров, где $N$ - переменная (т.е. черные шары подбрасываем в ящик).

У нас будет бесконечное количество попыток вытащить шар. Т.е. 1-я попытка - вытаскиваем шар, если белый, записываем Б, если черный, записываем Ч (или $1$ и $0$ соответственно), после чего вынутый шар возвращается обратно в ящик. Так вот, перед каждой $N$-й попыткой вытащить шар, мы знаем, что белый там всегда один шар в ящике, а количество черных - определяется функцией $F(N)$, где $N$ - это номер нашей попытки, т.е. $1, 2, 3, 4, 5$, ... и т.д. Функция $F(N)$ растет, т.е. с каждой следующей попыткой - уменьшается вероятность вытащить белый шар. Также, функция $F(N)$ может быть произвольной, т.е. может от целочисленного аргумента, вернуть и вещественное, не целое число, в таком случае, считаем, что количество черных шаров в ящике, во время $N$-й попытки - это округленное до целого, значение функции $F(N)$.

Если $F(N) = \ln N$, то наш полученный ряд типа $1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1$, ... и т.д. где $1$ - означает вытащенные белые шары, а $0$ - вытащенные черные шары, будет иметь такое же статистическое распределение единиц, как и распределение простых чисел в ряду натуральных чисел. Т.е. единички будут появляться, чем дальше, тем реже, и вероятность их появления во время $N$-й попытки, будет равна $1 / (\ln N) $ (такая же вероятность появления простого числа в окрестности $N$). Можно легко доказать, что с такой функцией $F(N) = \ln N$, мы бесконечное количество раз, будем вытаскивать белый шар.

Если $F(N) = {(\ln N)}^2$, то единичек будет меньше, они будут появляться еще реже, но тоже легко можно доказать, что их будет бесконечное количество в ряду. Ряд будет иметь такое же статистическое распределение единиц, как и распределение простых чисел - близнецов в ряду натуральных чисел. Это очевидно, потому что вероятность появления простых чисел близнецов (т.е. отличающихся на $2$), в окрестности $N$, и равна $1 / {(\ln N)}^2$. Потому я и верю, что реально, количество простых чисел-близнецов, должно быть бесконечным. Хотя это и не доказано, но косвенные свидетельства из теории вероятностей на это указывают. Если окажется, что количество простых чисел - близнецов окажется не бесконечным, тогда на это должна быть какая-то существенная причина, запрет. В самом деле, количество простых чисел отличающихся на $1$, только одна пара - $2$ и $3$, и больше таких нет. Здесь мы видим существенную причину - четные числа не могут быть простыми, если они больше $2$. А вот какой-либо существенной причины, почему не может быть бесконечное количество простых чисел близнецов, отличающихся на $2$, не обнаружено. По законам статистики, если такой причины нет, то их количество должно быть бесконечным. Значит, здесь должна работать, так сказать, "презумпция бесконечности". Т.е. мне не надо доказывать, что их количество бесконечно - я в это верю, потому что статистическое распределение на это указывает. А вот, чтобы поверить в то, что их количество конечно - вот это и нужно доказать, т.е. найти причину.

Если $F(N) = N$, то единичек будет еще меньше, они будут появляться еще реже, но тоже легко можно доказать, что их будет бесконечное количество в ряду. Я не буду приводить полное доказательство, вкратце оно следует из того, что сумма гармонического ряда $\sum\limits_{}^{}(1/N)$ расходится, т.е. его сумма стремится к бесконечности, при $N$ от $1$ до бесконечности. А во время $N$-й попытки, у нас как раз и есть вероятность вытащить белый шар, $(1/N)$.

Значит, во всех вышеприведенных случаях, мы вытащили бы белый шар, бесконечное количество раз. Если же задать функцию, определяющую количество черных шаров, $F(N) = {N}^{1+\varepsilon}$, т.е. количество черных шаров будет расти еще быстрее, чем $N$, где $N$ номер попытки, т.е. как $N$ в некой степени, большей $1$, тогда сумма ряда сходится, и можно доказать, что мы вытащим белый шар, лишь конечное количество раз, в любом эксперименте.

Это же больше всего и поражает воображение, получается, статистическое количество вытаскиваний белого шара, неожиданно, "уходит из бесконечности", и становится конечным числом. Пусть, $F(N) = {N}^{1.001}$, мы начали этот эксперимент, вытаскиваем шары. Иногда вытаскиваем белый шар, и записываем. Количество черных шаров в ящике растет, и вероятность вытаскивания белого шара, постоянно уменьшается, т.е. чем дальше, тем всё реже выпадают случаи вытаскивания белого шара. Но мы знаем, что у нас бесконечное количество попыток!! И всё таки, должен наступить момент, когда мы в последний раз вытащим белый шар.. После этого, значит, тянем шары, бесконечное количество раз, каждый раз с ненулевой вероятностью вытащить белый шар, надеемся, и всё таки, больше никогда, белый шар не появится. Это захватывает :) Бесконечное "встретилось" с конечным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Skipper в сообщении #1107329 писал(а):
с каждой следующей попыткой - уменьшается вероятность вытащить белый шар

Это с какой же радости?

-- Чт мар 17, 2016 16:54:51 --

(Оффтоп)

Наверно он с ростом числа попыток постепенно перестаёт быть белым ... Руки надо мыть!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 13:04 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Это с какой же радости?


Потому что с каждой следующей попыткой, количество черных шаров в ящике увеличивается, что непонятного? (а белый всегда один в ящике)

(Оффтоп)

Удивляюсь, как можно не понять, настолько "разжеванное" сообщение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Жую текст ещё раз. Действительно декларировано, что чёрные шары подбрасываются. Как подбрасываются, кем подбрасываются - ничего дальше нет. Написано только, после попытки вынутый шар возвращается в урну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 13:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я так понял, рассматривается предел (пускай зовётся $X_F$) при $n\to\infty$ последовательности случайных величин $\sum_{i=1}^n B_i$, где все $B_i$ независимы в совокупности, и $B_i$ распределена на $\{0,1\}$ с $\Prob(B_i=1) = (F(i)+1)^{-1}$. Когда и если он существует. Возможно, какой-то необычный предел.

Skipper в сообщении #1107329 писал(а):
И всё таки, должен наступить момент, когда мы в последний раз вытащим белый шар.. После этого, значит, тянем шары, бесконечное количество раз, каждый раз с ненулевой вероятностью вытащить белый шар, надеемся, и всё таки, больше никогда, белый шар не появится.
Только не надо путать матожидание случайной величины с её распределением. Конечное матожидание не запрещает иметь ненулевые вероятности у сколь угодно больших значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 14:40 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Как подбрасываются, кем подбрасываются - ничего дальше нет


Кем подбрасываются, не важно. А как подбрасываются, написано - так, что во время $N$-й попытки, количество белых шаров в ящике равно $1$ (всегда), а количество черных - равно округленному до целого, числу $F(N)$, где $N$ - номер попытки.
Значит вероятность вытащить белый шар, во время $N$-й попытки, равна $1/F(N)$.
$F(N)$ - может быть любой возрастающей функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Если уж жевать, то следовало бы сразу сказать, что число чёрных шаров переменно - и короче и яснее было бы. Обратите теперь внимание на сообщение от arseniiv

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 16:43 


24/03/09
505
Минск
Сумма ряда $\sum\limits_{}^{}(1/P)$, по всем простым числам $P$, тоже расходится и стремится к бесконечности, хотя значения в знаменателях растут быстрее, чем в случае с гармоническим рядом $\sum\limits_{}^{}(1/N)$, по всем натуральным $N$.

Функция количества простых чисел, не превосходящих $x$, $\pi (x)$ оценивается приблизительно как $x / \ln x$, значит, $N$-е порядковое простое число, приблизительно равно $N \ln N$. Значит, сумма ряда $\sum\limits_{}^{}(1/P)$, по всем простым числам $P$, приблизительно равна (стремится к) сумме ряда $\sum\limits_{}^{}1/(N \ln N)$ по всем натуральным $N$.
И значит, сумма ряда $\sum\limits_{}^{}1/(N \ln N)$ тоже расходится, и стремится к бесконечности.

Это значит, что если в нашем эксперименте с шарами, функция для количества черных шаров, будет $F(N) = N \ln N$, то хотя белые шары будут попадаться еще реже чем в случае с функцией $F(N) = N $, все равно количество вытащенных белых шаров, будет бесконечным.

Как выше было показано, в случае с функцией, $F(N) = {N}^{1+\varepsilon}$, количество вытащенных белых шаров будет конечным, для сколь угодно малого $\varepsilon$.

Интересно, как получится, если задать функцию, $F(N) = N {(\ln N)} ^ 2$ ?
Кто подскажет, бесконечна ли сумма ряда $\sum\limits_{}^{}1/(N {(\ln N)} ^ 2)$ по всем натуральным $N$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 17:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Skipper в сообщении #1107393 писал(а):
Кто подскажет, бесконечна ли сумма ряда $\sum\limits_{}^{}1/(N {(\ln N)} ^ 2)$ по всем натуральным $N$ ?
Слушайте, ну раз Вам интересна функция Римана, ну выучите обычный матанализ, ну это же тривиальное упражнение на интегральный признак сходимости, куда Вы на ТФКП замахиваетесь без матанализа? Возьмите Фихтенгольца - он простой и там буков примеров много, вот признаков сходимости как раз просто завались.
И кстати, $N\neq 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 17:26 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
выучите обычный матанализ


Я и читаю потихоньку. Только не Фихтенгольца, а Ильин, Позняк. Эта книга попроще, чем книга Фихтенгольца.
Позже попробую Титчмарша почитать.

-- Чт мар 17, 2016 17:20:10 --

Цитата:
Кто подскажет, бесконечна ли сумма ряда $\sum\limits_{}^{}1/(N {(\ln N)} ^ 2)$ по всем натуральным $N$ ?


Похоже на то, что конечна, т.е. сумма ряда сходится. Более того, если степень логарифма не обязательно $2$, будет просто больше $1$, то сумма ряда тоже будет сходиться. Сумма ряда расходится только в случае, если степень логарифма точно равна $1$. Я прав?

Это не простые доказательства - никакие признаки Коши и Даламбера здесь неприменимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Skipper в сообщении #1107398 писал(а):
Это не простые доказательства - никакие признаки Коши и Даламбера здесь неприменимы.
Да ладно, интегральный признак Коши мгновенно решает задачу. Вам же уже на это намекнули.

Skipper в сообщении #1107329 писал(а):
вероятность их появления во время $N$-й попытки, будет равна $1 / (\ln N) $
Вообще-то, $\frac 1{1+\mathop{\mathrm{Round}}(\ln N)}$, где $\mathrm{Round}$ — ваша функция округления до целого числа. Это замечание относится и к другим вашим примерам, включая $f(N)=N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 19:28 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Да ладно, интегральный признак Коши мгновенно решает задачу


Хорошо, сумма ряда $\sum\limits_{}^{}\frac{1}{N \ln N}$ по всем натуральным $N$ от $2$ до $\infty$, расходится и бесконечна, потому что значение несобственного интеграла

$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{1}{N \ln N} $ $=$ $\lim\limits_{b \to \infty}^{} (\ln \ln b - \ln \ln 2) = \infty$.

Ну а как решить, сходится ли сумма ряда по всем натуральным $N$ от $2$ до $\infty$, вот такого:
$\sum\limits_{}^{}\frac{1}{N {(\ln N)}^{(1 + \varepsilon)}}$, где $\varepsilon$ может быть любым числом ?

Я не знаю, как найти неопределенный интеграл от этой функции, $F(N) = \frac{1}{N {(\ln N)}^{(1 + \varepsilon)}}$

подскажите, кто знает?
спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$\int \frac{dx}{x \ln^{k} x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln^k x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 20:09 


14/01/11
2916

(Оффтоп)

Подозреваю, что в следующем вопросе появится что-то вроде $\frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)^{(1+\varepsilon)}}$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.03.2016, 20:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Sender в сообщении #1107443 писал(а):
Подозреваю, что в следующем вопросе появится что-то вроде $\frac{1}{N \ln N (\ln \ln N)^{(1+\varepsilon)}}$ :-)
Хотел предложить это в качестве упражнения :-)

Skipper
http://www.chemmsu.ru/download/1kurs/ma ... school.pdf
это Вам :-) Демидович

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group